Verificar se:
o conjunto W das funções contínuas cuja integral é positiva em [a, b] \subset \mathbb{R} é subespaço do espaço de funções \mathcal{F}([a, b], \mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define
W = \bigl\{\,f\in C([a,b],\mathbb{R}) \mid \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x > 0 \bigr\}
e pergunta se W é subespaço do espaço vetorial \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R}). Para ser subespaço, W deve conter a função zero e ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a função zero f_0(x)=0 pertence a W. Calculamos
\int_a^b f_0(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b 0\,\mathrm{d}x = 0,
mas a condição para f\in W é \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x>0. Logo, f_0\notin W, o que já impede W de ser subespaço.

Passo 3

Para reforçar, note que mesmo se tentássemos verificar fechamento em escalares: para f\in W temos \int_a^b f>0, mas para \alpha<0
\int_a^b (\alpha f)(x)\,\mathrm{d}x = \alpha \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x < 0,
logo \alpha f\notin W. Assim W falha em pelo menos um dos requisitos de subespaço.

Resposta

W não é subespaço de \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R}).

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