Verificar se:
W=\left\{p(t) \in \mathcal{P}_{3} ; p^{\prime \prime}(0)=1\right\} é subespaço de \mathcal{P}_{3};

Passo 1

O enunciado define
W = \bigl\{\,p(t)\in \mathcal{P}_3 \mid p''(0)=1\bigr\}
e pede para verificar se W é subespaço de \mathcal{P}_3. O conteúdo necessário é o critério de subespaço: deve conter o polinômio zero e ser fechado em soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Um requisito obrigatório para W ser subespaço é que o polinômio zero 0(t) pertença a W. Como 0(t)=0 tem derivadas 0'(t)=0 e 0''(t)=0, em particular
0''(0)=0\neq1,
logo 0(t)\notin W.

Passo 3

Como o vetor zero não está em W, já basta para concluir que W não é subespaço de \mathcal{P}_3. (Opcional: em geral, se p\in W então para \alpha\neq1 teríamos (\alpha p)''(0)=\alpha\,p''(0)=\alpha\neq1, mostrando também falha de fechamento escalar.)

Resposta

W não é subespaço de \mathcal{P}_3.

Exercícios relacionados