Seja W o subespaço gerado por todas as possíveis combinaçōes dos vetores u1, u2 abaixo. Escreva y como uma soma de um vetor em W(y) c outro ortogonal à W(z).
y=[r -3 -5 -2 4 ] ; u1=[r -1 -1 0 0 ] ; u2=[r -2 2 2 -2 ]

Passo 1

O enunciado pede para decompor yinR^4 em
yin W mais zperp W,
onde W=spanu1,u2 e
y=-3-5-24, u1=-1-100, u2=-222-2
Vamos usar projeção ortogonal numa base ortogonal.

Passo 2

Verificamos que u1 e u2 são ortogonais, calculando os produtos internos:
u1^T u1 = (-1)^2+(-1)^2+0^2+0^2 = 2, u2^T u2 = (-2)^2+2^2+2^2+(-2)^2 = 16,
u1^T u2 = (-1)(-2)+(-1)(2)+0cdot2+0cdot(-2) = 0
Como u1^T u2=0, a projeção de y é a soma das projeções em cada vetor.

Passo 3

Calculamos os coeficientes de projeção:
para u1,
alpha1 = u1^T yu1^T u1 = (-1)(-3)+(-1)(-5)+0cdot(-2)+0cdot42 = 82 = 4;
para u2,
alpha2 = u2^T yu2^T u2 = (-2)(-3)+2(-5)+2(-2)+(-2)(4)16 = -1616 = -1

Passo 4

Formamos a projeção
y = alpha1,u1 + alpha2,u2 = 4-1-100 +(-1)-222-2 =-4-400 +2-2-22 =-2-6-22

Passo 5

O componente ortogonal é
z = y - y =-3-5-24 --2-6-22 =-1102,
e de fato u1^Tz=0 e u2^Tz=0.

Resposta

y = -2-6-22, z = -1102

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