Seja
o subespaço gerado por todas as possíveis combinaçōes dos vetores
abaixo. Escreva
como uma soma de um vetor em
c outro ortogonal à
.
Passo 1
O enunciado pede para decompor
yinR^4 em
yin W mais
zperp W ,
ondeW=spanu1,u2 e
onde
Vamos usar projeção ortogonal numa base ortogonal.
Passo 2
Verificamos que
u1 e
u2 são ortogonais, calculando os produtos internos:
Como
u1^T u2=0 , a projeção de
y é a soma das projeções em cada vetor.
Passo 3
Calculamos os coeficientes de projeção:
parau1 ,
para
para
u2 ,
Passo 4
Formamos a projeção
Passo 5
O componente ortogonal é
e de fato
u1^Tz=0 e
u2^Tz=0 .