Seja a matriz A=Q R, com A e Q dados abaixo. Temos que Q e R são dados pela chamdada fatoração QR .
Encontre a matriz triangular superior R;
A=[rr 2 & 2 -4 & -5 1 & 2 -2 & -2 ] Q=125[rr 10 & -10 -20 & -5 5 & 20 -10 & 10 ] ; y=[r 3 -4 -3 2 ]

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a matriz AinR^4times2 e a matriz ortonormal parcial QinR^4times2 dadas, e queremos encontrar a matriz triangular superior RinR^2times2 tal que A = Q,R. O conteúdo aqui é a fatoração QR e vamos usar a propriedade de que, para colunas ortonormais, R = Q^T A.

Passo 2

Como Q é ortonormal ( Q^T Q = I), temos
R = Q^T A
Para simplificar o cálculo, note que
Q = 125M,
onde
M = 10 & -10 -20 & -5 5 & 20 -10 & 10
Logo,
R = Q^T A = 125,M^T A

Passo 3

Calculamos primeiro M^T A. As colunas de M são
m1 = 10-205-10, m2 = -10-52010,
e as colunas de A são
a1 = 2-41-2, a2 = 2-52-2
Portanto,
M^T A = m1 cdot a1 & m1 cdot a2 m2 cdot a1 & m2 cdot a2 = 125 & 150 0 & 25

Passo 4

Finalmente, dividindo por 25, obtemos
R = 125 125 & 150 0 & 25 = 5 & 6 0 & 1

Resposta

R = 5 & 6 0 & 1

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