Seja V subset R^3 o subespaço gerado pelos vetores (1,1,1) ;(1,2,2) e (1,2,5). Calcule dim V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir a dimensão de um subespaço V de R^3 que é gerado pelos vetores (1,1,1) , (1,2,2) e (1,2,5) . Isso significa que queremos saber quantas dessas direções são realmente únicas e independentes pra formar V .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre independência linear e dimensão de subespaço. Basicamente, se os vetores são independentes, cada um acrescenta uma “nova direção” no espaço. Se não são, alguns deles podem ser escritos como combinação dos outros, e a dimensão será menor.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar os vetores como colunas de uma matriz para facilitar a visualização:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 1 & 2 & 5
A ideia é ver quantas dessas colunas são realmente independentes. Isso significa verificar o posto (ou rank) dessa matriz.

Passo 3

Vamos transformar a matriz A em uma forma mais simples usando operações de linha. Nosso objetivo é chegar na forma escalonada para identificar quais colunas contêm pivôs (elementos não nulos que podem ser usados para eliminar os demais).
Primeiro, subtraímos a primeira linha das outras para zerar os elementos abaixo do primeiro 1:
1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 4

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo 1. Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira:
1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 3
Agora, a matriz está em forma escalonada com pivôs nas três colunas principais.

Passo 5

Como temos três pivôs, isso significa que os três vetores são linearmente independentes. Ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros.

Resposta

A dimensão de V é 3.

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