Verifique que
é um subespaço de
, encontre uma base e determine a dimensão desse subespaço.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é subespaço de , e em seguida dar uma base e a dimensão. Vamos usar o teste de subespaço (verificar o vetor zero, fechamento em soma e em escalares) e depois parametrizar a equação
para extrair uma base.
é subespaço de
Passo 2
Verificação de subespaço:
- O vetor zero
satisfaz , logo está no conjunto. - Se
e satisfazem , então
logo a soma também satisfaz a equação.
3. Se e
satisfaz
, então
3. Se
logo o múltiplo escalar também está no conjunto.
Portanto é subespaço.
Portanto é subespaço.
Passo 3
Para achar uma base, reescrevemos a condição
Assim um vetor genérico do subespaço é
Passo 4
Os vetores
geram todo o subespaço e são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial delas dá o vetor zero), logo formam uma base.
Passo 5
Como a base tem 3 vetores, a dimensão do subespaço é 3.
Resposta
Uma base é
e a dimensão vale .
e a dimensão vale