Verifique que (x, y, z, w) in R^4 mid x+w=y+z é um subespaço de R^4, encontre uma base e determine a dimensão desse subespaço.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
(x,y,z,w)inR^4mid x+w=y+z
é subespaço de R^4, e em seguida dar uma base e a dimensão. Vamos usar o teste de subespaço (verificar o vetor zero, fechamento em soma e em escalares) e depois parametrizar a equação x+w=y+z para extrair uma base.

Passo 2

Verificação de subespaço:
  1. O vetor zero (0,0,0,0) satisfaz 0+0=0+0, logo está no conjunto.
  2. Se (x1,y1,z1,w1) e (x2,y2,z2,w2) satisfazem xi+wi=yi+zi, então
(x1+x2)+(w1+w2) =(x1+w1)+(x2+w2) =(y1+z1)+(y2+z2) =(y1+y2)+(z1+z2),
logo a soma também satisfaz a equação.
3. Se lambdainR e (x,y,z,w) satisfaz x+w=y+z, então
(lambda x)+(lambda w) =lambda(x+w) =lambda(y+z) =(lambda y)+(lambda z),
logo o múltiplo escalar também está no conjunto.
Portanto é subespaço.

Passo 3

Para achar uma base, reescrevemos a condição
x+w=y+z Long<=ftrightarrow x = y+z - w
Assim um vetor genérico do subespaço é
(x,y,z,w) =(,y+z-w,,,y,,,z,,,w) =y,(1,1,0,0)+z,(1,0,1,0)+w,(-1,0,0,1)

Passo 4

Os vetores
v1=(1,1,0,0), v2=(1,0,1,0), v3=(-1,0,0,1)
geram todo o subespaço e são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial delas dá o vetor zero), logo formam uma base.

Passo 5

Como a base tem 3 vetores, a dimensão do subespaço é 3.

Resposta

Uma base é
(1,1,0,0),,(1,0,1,0),,(-1,0,0,1)
e a dimensão vale 3.

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