Ache a transformação linear T: R^3 R^2 que satisfaz as condições:
T(1,1,0)=(1,1) ; T(1,0,1)=(-1,1) e T(0,1,1)=(0,1)

Passo 1

Estamos buscando uma transformação linear T:R^3toR^2 que satisfaz
T(1,1,0) = (1,1), T(1,0,1)=(-1,1), T(0,1,1)=(0,1)
O truque é escrever essas imagens em função de T(e1), T(e2) e T(e3) e resolver um sistema.

Passo 2

Denotemos
a=T(e1), b=T(e2) e c=T(e3).
Como T é linear, temos as equações
a+b = (1,1),
a+c = (-1,1),
b+c = (0,1)

Passo 3

Para eliminar b+c, somamos as duas primeiras equações:
(a+b) + (a+c) = (1,1) + (-1,1) = (0,2)
Mas b+c=(0,1), logo
2a + (b+c) = (0,2) Longrightarrow 2a + (0,1) = (0,2) Longrightarrow 2a = (0,1)

Passo 4

Daí
a = l(0,tfrac12r)
Em seguida
b = (1,1) - a = l(1,tfrac12r), c = (-1,1) - a = l(-1,tfrac12r)

Passo 5

Qualquer vetor (x,y,z) se escreve x e1 + y e2 + z e3, então
T(x,y,z) = x,a + y,b + z,c = l(y - z,;tfracx+y+z2r)

Resposta

T(x,y,z) = l(y - z,;tfracx+y+z2r)

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