Seja W um subespaço de R^4 gerado pelos vetores u1=(1,1,2,2), u2=(1,2,5,6), u3=(1,3,6,8), u4=(1,2,4,5), seja A a matriz em forma escalonada na canônica.
A=(cccc 1 & 0 & 0 & 1 / 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 / 2 0 & 0 & 0 & 0 )
Determine os vetores que formam a base do espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado nos dá quatro vetores em R^4,
u1=(1,1,2,2), u2=(1,2,5,6), u3=(1,3,6,8), u4=(1,2,4,5),
e informa que, ao montar a matriz cujas linhas são esses ui e aplicarmos eliminação de Gauss, chegamos à forma escalonada canônica
A= 1 & 0 & 0 & tfrac12 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac12 0 & 0 & 0 & 0
O espaço W é o subespaço gerado pelos ui, isto é, é igual ao espaço-linha da matriz original. Para achar uma base de W, lembramos que os vetores linha não-nulos na forma escalonada de Gauss formam uma base do espaço-linha.

Passo 2

Identificamos as linhas não-nulas de A. Elas são
r1=(1,0,0,tfrac12), r2=(0,1,0,0), r3=(0,0,1,tfrac12)
Cada ri é um vetor em R^4 e elas são linearmente independentes.

Passo 3

Concluímos que
,r1,;r2,;r3
é uma base de W. A dimensão de W é 3.

Resposta

A base de W é dada pelos vetores
(1,0,0,tfrac12), (0,1,0,0), (0,0,1,tfrac12)

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