Dica: Observe que os vetores \mathbf{v}_{j} correspondem às colunas da matriz A da questão 4 .
(a) Encontre um subconjunto \mathcal{B} dos vetores dados que seja uma base de V. Escreva explicitamente os vetores da base \mathcal{B}.
(b) Expresse cada vetor \mathbf{v}_{j} que não esteja em \mathcal{B} como uma combinação linear dos vetores de \mathcal{B}.
(c) Considere o conjunto \mathcal{S}=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{4}, \mathbf{v}_{5}\right\}. Determine se é verdadeira ou falsa cada afirmativa a seguir. Justifique sucintamente as respostas, na folha de papel almaço.
i. É possível acrescentar vetores a \mathcal{S} de forma a obter uma base de V.
Verdadeira Falsa (Circule a alternativa correta.)
ii. É possível remover vetores de \mathcal{S} de forma a obter uma base de V.
Verdadeira Falsa (Circule a alternativa correta.)
iii. É possível acrescentar vetores a \mathcal{S} de forma a obter uma base de \mathbb{R}^{4}.
Verdadeira Falsa (Circule a alternativa correta.)
iv. É possível remover vetores de \mathcal{S} de forma a obter uma base de \mathbb{R}^{4}.
Verdadeira Falsa (Circule a alternativa correta.)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço V\subset\mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores
O que nos pedem:
(a) encontrar um subconjunto \mathcal{B} desses vetores que seja uma base de V (ou seja, \mathcal{B} deve gerar V e ser linearmente independente);
(b) escrever cada vetor que não esteja em \mathcal{B} como combinação linear dos vetores de \mathcal{B};
(c) para o conjunto \mathcal{S}=\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_5\} decidir se são verdadeiras ou falsas as quatro afirmações indicadas (com breve justificativa).]
Passo 2
Estratégia didática (sem pular etapas): organizar os vetores como colunas da matriz A e usar eliminação de linhas (redução por linhas) para descobrir quais colunas são linearmente independentes. As colunas correspondentes aos pivôs fornecem uma base (método padrão: “colunas pivot” formam uma base do espaço gerado pelas colunas). Vou fazer a eliminação passo a passo e explicar cada operação.
A matriz cujas colunas são \mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_5 é
Cada linha é um vetor de \mathbb{R}^5 transposto; fazemos operações elementares nas linhas para triangularizar e identificar pivôs. As operações de linha não mudam as relações lineares entre as colunas (ou seja, pivôs identificam colunas independentes).]
Passo 3
Primeira etapa: trocar a primeira linha pela quarta (para ter pivô 1 fácil na primeira coluna). Após a troca:
Interpretação direta: há pivôs nas colunas 1,2,4. Então as colunas originais 1,2,4 (isto é, \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_4) são linearmente independentes e geram o mesmo espaço das colunas de A. Portanto uma base de V é
Comentário didático: o número de pivôs (3) é a dimensão de V. Como temos 3 pivôs em 4 linhas, \dim V=3.]
Passo 6
Agora precisamos escrever os vetores restantes (\mathbf{v}_3\) e \(\mathbf{v}_5\)) como combinações lineares de \(\mathcal{B}\). Procedemos montando e resolvendo sistemas lineares do tipo
\[a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_4=\mathbf{v}_j,
onde a,b,c são escalares desconhecidos. Vou resolver primeiro para \mathbf{v}_3.
Então a=3,\; b=-2,\; c=0. Conferindo na terceira linha: funciona. Conclusão:
\mathbf{v}_3 = 3\mathbf{v}_1 - 2\mathbf{v}_2.]
Passo 7
Agora fazemos o mesmo para \mathbf{v}_5\). Sistema:
\[\begin{cases} 2a + 1b + 4c = 17,\\[4pt] 2a -3b -1c = -2,\\[4pt] -2a -5b -9c = -36,\\[4pt] a -2c = -4. \end{cases}
Da última equação a=-4+2c\]. Substituindo na primeira:
\[2(-4+2c)+b+4c=17 \implies b+8c=25 \implies b=25-8c.\]
Substituindo na segunda:
\[2(-4+2c)-3(25-8c)-c=-2 \implies -83+27c=-2 \implies 27c=81 \implies c=3.\]
Logo \(a=-4+2\cdot3=2 e b=25-8\cdot3=1. Verificação na terceira linha confirma. Assim
Agora respondemos às afirmações (c) com justificativas curtas e claras.
i. “É possível acrescentar vetores a \mathcal{S} de forma a obter uma base de V?”
Justificativa: \mathcal{S} já gera V e é linearmente dependente (tem 5 vetores em um espaço de dimensão 3). Acrescentar vetores (mantendo os originais) não remove dependência; portanto não se obtém um conjunto linearmente independente que seja exatamente uma base apenas por acrescentar vetores. Conclusão: Falsa.
ii. “É possível remover vetores de \mathcal{S} de forma a obter uma base de V?”
Justificativa: Sim — basta remover vetores redundantes. Encontramos explicitamente \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_4\} que é uma base de V. Conclusão: Verdadeira.
iii. “É possível acrescentar vetores a \mathcal{S} de forma a obter uma base de \mathbb{R}^{4}?”
Justificativa: Uma base de \mathbb{R}^4 tem 4 vetores linearmente independentes. Todo subconjunto de \mathcal{S} está contido em V, que tem dimensão 3, portanto não é possível (mantendo todos os vetores originais e apenas acrescentando) obter 4 vetores independentes dentro de \mathcal{S}\cup\{\dots\} sem remover os vetores dependentes; acrescentar vetores não torna o conjunto todo independente. Conclusão: Falsa.
iv. “É possível remover vetores de \mathcal{S} de forma a obter uma base de \mathbb{R}^{4}?”
Justificativa: Remover vetores de \mathcal{S} não pode criar vetores fora do espaço gerado por \mathcal{S}; todos os vetores remanescentes ficarão em V (dimensão 3), logo não é possível obter uma base de \mathbb{R}^4 (dimensão 4). Conclusão: Falsa.