Q5. Seja V o subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado pelos seguintes vetores:
\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 1 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -3 \\\\ -5 \\\\ 0 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ 12 \\\\ 4 \\\\ 3 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{4}=\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ -1 \\\\ -9 \\\\ -2 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{5}=\left[\begin{array}{r} 17 \\\\ -2 \\\\ -36 \\\\ -4 \end{array}\right] .
Dica: Observe que os vetores \mathbf{v}_{j} correspondem às colunas da matriz A da questão 4 .
(a) Encontre um subconjunto \mathcal{B} dos vetores dados que seja uma base de V. Escreva explicitamente os vetores da base \mathcal{B}.
(b) Expresse cada vetor \mathbf{v}_{j} que não esteja em \mathcal{B} como uma combinação linear dos vetores de \mathcal{B}.
(c) Considere o conjunto \mathcal{S}=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{4}, \mathbf{v}_{5}\right\}. Determine se é verdadeira ou falsa cada afirmativa a seguir. Justifique sucintamente as respostas, na folha de papel almaço.
i. É possível acrescentar vetores a \mathcal{S} de forma a obter uma base de V.
Verdadeira Falsa (Circule a alternativa correta.)
ii. É possível remover vetores de \mathcal{S} de forma a obter uma base de V.
Verdadeira Falsa (Circule a alternativa correta.)
iii. É possível acrescentar vetores a \mathcal{S} de forma a obter uma base de \mathbb{R}^{4}.
Verdadeira Falsa (Circule a alternativa correta.)
iv. É possível remover vetores de \mathcal{S} de forma a obter uma base de \mathbb{R}^{4}.
Verdadeira Falsa (Circule a alternativa correta.)

Passo 1

O enunciado dá o subespaço V\subset\mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores
\mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix},\; \mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]-5\\[4pt]0\end{pmatrix},\; \mathbf{v}_{3}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]12\\[4pt]4\\[4pt]3\end{pmatrix},\; \mathbf{v}_{4}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]-1\\[4pt]-9\\[4pt]-2\end{pmatrix},\; \mathbf{v}_{5}=\begin{pmatrix}17\\[4pt]-2\\[4pt]-36\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
O que nos pedem:
(a) encontrar um subconjunto \mathcal{B} desses vetores que seja uma base de V (ou seja, \mathcal{B} deve gerar V e ser linearmente independente);
(b) escrever cada vetor que não esteja em \mathcal{B} como combinação linear dos vetores de \mathcal{B};
(c) para o conjunto \mathcal{S}=\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_5\} decidir se são verdadeiras ou falsas as quatro afirmações indicadas (com breve justificativa).]

Passo 2

Estratégia didática (sem pular etapas): organizar os vetores como colunas da matriz A e usar eliminação de linhas (redução por linhas) para descobrir quais colunas são linearmente independentes. As colunas correspondentes aos pivôs fornecem uma base (método padrão: “colunas pivot” formam uma base do espaço gerado pelas colunas). Vou fazer a eliminação passo a passo e explicar cada operação.
A matriz cujas colunas são \mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_5 é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 4 & 17\\[4pt] 2 & -3 & 12 & -1 & -2\\[4pt] -2 & -5 & 4 & -9 & -36\\[4pt] 1 & 0 & 3 & -2 & -4 \end{pmatrix}.
Cada linha é um vetor de \mathbb{R}^5 transposto; fazemos operações elementares nas linhas para triangularizar e identificar pivôs. As operações de linha não mudam as relações lineares entre as colunas (ou seja, pivôs identificam colunas independentes).]

Passo 3

Primeira etapa: trocar a primeira linha pela quarta (para ter pivô 1 fácil na primeira coluna). Após a troca:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -2 & -4\\[4pt] 2 & -3 & 12 & -1 & -2\\[4pt] -2 & -5 & 4 & -9 & -36\\[4pt] 2 & 1 & 4 & 4 & 17 \end{pmatrix}.
Agora eliminamos abaixo da primeira coluna usando R_2\leftarrow R_2-2R_1, R_3\leftarrow R_3+2R_1, R_4\leftarrow R_4-2R_1. Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -2 & -4\\[4pt] 0 & -3 & 6 & 3 & 6\\[4pt] 0 & -5 & 10 & -13 & -44\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 8 & 25 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Próximo pivô está na coluna 2. Para ter pivô 1 trocamos R_2 por R_4 (pois R_4 tem 1 na coluna 2):
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -2 & -4\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 8 & 25\\[4pt] 0 & -5 & 10 & -13 & -44\\[4pt] 0 & -3 & 6 & 3 & 6 \end{pmatrix}.
Eliminamos os elementos abaixo da coluna 2: R_3\leftarrow R_3+5R_2, R_4\leftarrow R_4+3R_2. Calculando:
R_3: \; [0,\;0,\;0,\;27,\;81],\qquad R_4: \; [0,\;0,\;0,\;27,\;81].
Assim a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -2 & -4\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 8 & 25\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 27 & 81\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 27 & 81 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Continuando: a terceira linha não nula tem 27 na coluna 4, então o pivô seguinte está na coluna 4. Dividimos R_3 por 27 e zeramos acima:
R_3\leftarrow \frac{1}{27}R_3 = [0,0,0,1,3].
Eliminamos a entrada -2 em R_1 e 8 em R_2 usando R_1\leftarrow R_1+2R_3 e R_2\leftarrow R_2-8R_3. Ficamos com
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Interpretação direta: há pivôs nas colunas 1,2,4. Então as colunas originais 1,2,4 (isto é, \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_4) são linearmente independentes e geram o mesmo espaço das colunas de A. Portanto uma base de V é
\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_4\}.
Comentário didático: o número de pivôs (3) é a dimensão de V. Como temos 3 pivôs em 4 linhas, \dim V=3.]

Passo 6

Agora precisamos escrever os vetores restantes ( \mathbf{v}_3\) e \(\mathbf{v}_5\)) como combinações lineares de \(\mathcal{B}\). Procedemos montando e resolvendo sistemas lineares do tipo \[a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_4=\mathbf{v}_j,
onde a,b,c são escalares desconhecidos. Vou resolver primeiro para \mathbf{v}_3.
Sistema (componentes):
\begin{cases} 2a + 1b + 4c = 4,\\[4pt] 2a -3b -1c = 12,\\[4pt] -2a -5b -9c = 4,\\[4pt] 1a +0b -2c = 3. \end{cases}
Da última equação a-2c=3\] temos \(a=3+2c. Substituindo nas outras duas equações podemos eliminar a e resolver por b,c. Substituição na primeira dá
2(3+2c)+b+4c=4 \implies b+8c=-2 \implies b=-2-8c.
Substituindo em segunda equação:
2(3+2c)-3(-2-8c)-c=12 \implies 12+27c=12 \implies 27c=0 \implies c=0.
Então a=3,\; b=-2,\; c=0. Conferindo na terceira linha: funciona. Conclusão:
\mathbf{v}_3 = 3\mathbf{v}_1 - 2\mathbf{v}_2.]

Passo 7

Agora fazemos o mesmo para \mathbf{v}_5\). Sistema: \[\begin{cases} 2a + 1b + 4c = 17,\\[4pt] 2a -3b -1c = -2,\\[4pt] -2a -5b -9c = -36,\\[4pt] a -2c = -4. \end{cases}
Da última equação a=-4+2c\]. Substituindo na primeira: \[2(-4+2c)+b+4c=17 \implies b+8c=25 \implies b=25-8c.\] Substituindo na segunda: \[2(-4+2c)-3(25-8c)-c=-2 \implies -83+27c=-2 \implies 27c=81 \implies c=3.\] Logo \(a=-4+2\cdot3=2 e b=25-8\cdot3=1. Verificação na terceira linha confirma. Assim
\mathbf{v}_5 = 2\mathbf{v}_1 + 1\mathbf{v}_2 + 3\mathbf{v}_4.]

Passo 8

Agora respondemos às afirmações (c) com justificativas curtas e claras.
i. “É possível acrescentar vetores a \mathcal{S} de forma a obter uma base de V?”
Justificativa: \mathcal{S} já gera V e é linearmente dependente (tem 5 vetores em um espaço de dimensão 3). Acrescentar vetores (mantendo os originais) não remove dependência; portanto não se obtém um conjunto linearmente independente que seja exatamente uma base apenas por acrescentar vetores. Conclusão: Falsa.
ii. “É possível remover vetores de \mathcal{S} de forma a obter uma base de V?”
Justificativa: Sim — basta remover vetores redundantes. Encontramos explicitamente \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_4\} que é uma base de V. Conclusão: Verdadeira.
iii. “É possível acrescentar vetores a \mathcal{S} de forma a obter uma base de \mathbb{R}^{4}?”
Justificativa: Uma base de \mathbb{R}^4 tem 4 vetores linearmente independentes. Todo subconjunto de \mathcal{S} está contido em V, que tem dimensão 3, portanto não é possível (mantendo todos os vetores originais e apenas acrescentando) obter 4 vetores independentes dentro de \mathcal{S}\cup\{\dots\} sem remover os vetores dependentes; acrescentar vetores não torna o conjunto todo independente. Conclusão: Falsa.
iv. “É possível remover vetores de \mathcal{S} de forma a obter uma base de \mathbb{R}^{4}?”
Justificativa: Remover vetores de \mathcal{S} não pode criar vetores fora do espaço gerado por \mathcal{S}; todos os vetores remanescentes ficarão em V (dimensão 3), logo não é possível obter uma base de \mathbb{R}^4 (dimensão 4). Conclusão: Falsa.

Resposta

(a) \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_4\} com \displaystyle \mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix},\; \mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]-5\\[4pt]0\end{pmatrix},\; \mathbf{v}_{4}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]-1\\[4pt]-9\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle \mathbf{v}_3 = 3\mathbf{v}_1 - 2\mathbf{v}_2.
\displaystyle \mathbf{v}_5 = 2\mathbf{v}_1 + 1\mathbf{v}_2 + 3\mathbf{v}_4.
(c.i) Falsa
(c.ii) Verdadeira
(c.iii) Falsa
(c.iv) Falsa]

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