Dê a definição do conceito de base de um subespaço
de
.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede: "Dê a definição do conceito de base de um subespaço
de
".
Informações dadas: temos um subespaço de
e precisamos fornecer a definição precisa de “base” desse subespaço. Não há outros dados numéricos ou figuras.
Informações dadas: temos um subespaço
Passo 2
Antes de dizer o que é base, vou explicar dois conceitos fundamentais que aparecem na definição: combinação linear e envoltório (span). Esses conceitos são usados em praticamente todas as demonstrações sobre bases, então é importante entender bem.
Definição de combinação linear: dada uma lista de vetores
em
, uma combinação linear desses vetores é qualquer vetor da forma
onde os coeficientes
são números reais. Aqui cada
é um escalar que multiplica o vetor
.
Definição de envoltório (span): o envoltório de
é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses vetores:
Intuição:
é o menor subespaço que contém todos os
; é tudo o que você consegue “gerar” com os
usando somas e multiplicações por escalares.
Passo 3
Agora outro conceito essencial: independência linear.
Definição de independência linear: os vetores
são linearmente independentes se a única solução para
é
. Em outras palavras, não existe uma combinação linear não-trivial dos vetores que dê o vetor zero.
Intuição prática: se os vetores são dependentes, pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros (há redundância). Se são independentes, nenhum deles é redundante.
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Em
, os vetores e são linearmente independentes. - Em
, os vetores e são linearmente dependentes (porque ).
Passo 4
Com esses dois conceitos prontos, define-se formalmente o que é base. Vou escrever a definição em palavras e logo depois em forma mais direta.
Definição em palavras: uma base de um subespaço
é um conjunto de vetores dentro de
que gera todo
(ou seja, seu envoltório é
) e ao mesmo tempo não contém vetores redundantes (ou seja, é linearmente independente).
Definição em forma matemática: um conjunto
é uma base de
se e somente se satisfaz duas condições:
- Gera
:
- É linearmente independente:
Passo 5
Uma consequência importante da definição (útil na prova): se
é base de
, então cada vetor
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
de maneira única. Vou mostrar por que é única.
Prova da unicidade: suponha que
e também
Subtraindo as duas expressões obtemos
Pela independência linear de
segue que
para todo
, isto é,
. Logo a representação é única.
Intuição prática: ter uma base é ter um “sistema de coordenadas” dentro de
; os coeficientes
são as coordenadas do vetor
na base
.
Passo 6
Outras formas equivalentes e propriedades úteis (muito usadas em exercícios):
- Minimalidade como gerador:
é base de se gera e nenhuma subconjunto próprio de gera . Ou seja, não dá para tirar nenhum vetor de e ainda gerar . - Maximalidade como conjunto independente:
é base se é um conjunto linearmente independente em e não existe vetor que possa ser adicionado a mantendo a independência (não dá pra aumentar mantendo independência). - O número de vetores em qualquer base de
é sempre o mesmo; esse número é chamado de dimensão de . (A prova dessa propriedade pede um teorema extra, mas o resultado é usado rotineiramente.)
Passo 7
Exemplos concretos — bom para lembrar na hora da prova:
- Para
, a base canônica é com tendo 1 na i-ésima posição e 0 nas outras. Satisfaz geração (qualquer vetor tem suas coordenadas) e independência. - Se
é uma reta passando pela origem no (um subespaço de dimensão 1), qualquer vetor não-nulo forma uma base: . - Se
é o plano em , então é uma base de .
Passo 8
Checklist prático para checar se um conjunto
é base (útil na prova):
- Método 1 (direto): mostrar que
e provar independência linear (resolver a equação homogênea). - Método 2 (quando souber
): provar que os vetores são independentes e que . Se são independentes e têm o mesmo número que a dimensão, então formam uma base. - Ferramenta prática: montar a matriz cujas colunas são os vetores
e fazer eliminação por Gauss. Se, ao trabalhar no contexto de , você encontrar pivôs suficientes (ou uma coluna pivotante para cada vetor quando apropriado), você conclui independência/geração conforme o caso.
Passo 9
Recapitulando de forma bem direta (para decorar): “base” = gera + independente. Memoriza essa dupla condição que resolve a maior parte das questões.
Resposta
Um conjunto
é uma base de
se, e somente se,
e
ou seja, a única solução de
é
.