Dê a definição do conceito de base de um subespaço W de \mathbb{R}^{n}.
(b) 1,5 \mathrm{pts}.

Passo 1

O enunciado pede: "Dê a definição do conceito de base de um subespaço W de \mathbb{R}^{n}".
Informações dadas: temos um subespaço W de \mathbb{R}^{n} e precisamos fornecer a definição precisa de “base” desse subespaço. Não há outros dados numéricos ou figuras.

Passo 2

Antes de dizer o que é base, vou explicar dois conceitos fundamentais que aparecem na definição: combinação linear e envoltório (span). Esses conceitos são usados em praticamente todas as demonstrações sobre bases, então é importante entender bem.
Definição de combinação linear: dada uma lista de vetores \{v_1,\dots,v_k\} em \mathbb{R}^{n}, uma combinação linear desses vetores é qualquer vetor da forma
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_k v_k
onde os coeficientes a_1,\dots,a_k são números reais. Aqui cada a_i é um escalar que multiplica o vetor v_i.
Definição de envoltório (span): o envoltório de \{v_1,\dots,v_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses vetores:
\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} = \{\,a_1 v_1 + \dots + a_k v_k \mid a_i\in\mathbb{R}\,\}.
Intuição: \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} é o menor subespaço que contém todos os v_i; é tudo o que você consegue “gerar” com os v_i usando somas e multiplicações por escalares.

Passo 3

Agora outro conceito essencial: independência linear.
Definição de independência linear: os vetores \{v_1,\dots,v_k\} são linearmente independentes se a única solução para
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_k v_k = 0
é a_1 = a_2 = \dots = a_k = 0. Em outras palavras, não existe uma combinação linear não-trivial dos vetores que dê o vetor zero.
Intuição prática: se os vetores são dependentes, pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros (há redundância). Se são independentes, nenhum deles é redundante.
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Em \mathbb{R}^2, os vetores (1,0) e (0,1) são linearmente independentes.
  • Em \mathbb{R}^2, os vetores (1,0) e (2,0) são linearmente dependentes (porque (2,0)=2\cdot(1,0)).

Passo 4

Com esses dois conceitos prontos, define-se formalmente o que é base. Vou escrever a definição em palavras e logo depois em forma mais direta.
Definição em palavras: uma base de um subespaço W é um conjunto de vetores dentro de W que gera todo W (ou seja, seu envoltório é W) e ao mesmo tempo não contém vetores redundantes (ou seja, é linearmente independente).
Definição em forma matemática: um conjunto B=\{v_1,\dots,v_k\}\subset W é uma base de W se e somente se satisfaz duas condições:
  1. Gera W:
\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}=W.
  1. É linearmente independente:
\text{se }a_1 v_1 + \dots + a_k v_k = 0\text{ então }a_1=\dots=a_k=0.ã

Passo 5

Uma consequência importante da definição (útil na prova): se B é base de W, então cada vetor w\in W pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B de maneira única. Vou mostrar por que é única.
Prova da unicidade: suponha que
w = a_1 v_1 + \dots + a_k v_k
e também
w = b_1 v_1 + \dots + b_k v_k.
Subtraindo as duas expressões obtemos
0 = (a_1-b_1)v_1 + \dots + (a_k-b_k)v_k.
Pela independência linear de B segue que a_i-b_i=0 para todo i, isto é, a_i=b_i. Logo a representação é única.
Intuição prática: ter uma base é ter um “sistema de coordenadas” dentro de W; os coeficientes a_i são as coordenadas do vetor w na base B.

Passo 6

Outras formas equivalentes e propriedades úteis (muito usadas em exercícios):
  • Minimalidade como gerador: B é base de W se gera W e nenhuma subconjunto próprio de B gera W. Ou seja, não dá para tirar nenhum vetor de B e ainda gerar W.
  • Maximalidade como conjunto independente: B é base se é um conjunto linearmente independente em W e não existe vetor v\in W que possa ser adicionado a B mantendo a independência (não dá pra aumentar B mantendo independência).
  • O número de vetores em qualquer base de W é sempre o mesmo; esse número é chamado de dimensão de W. (A prova dessa propriedade pede um teorema extra, mas o resultado é usado rotineiramente.)

Passo 7

Exemplos concretos — bom para lembrar na hora da prova:
  • Para W=\mathbb{R}^n, a base canônica é B=\{e_1,\dots,e_n\} com e_i tendo 1 na i-ésima posição e 0 nas outras. Satisfaz geração (qualquer vetor tem suas coordenadas) e independência.
  • Se W é uma reta passando pela origem no \mathbb{R}^2 (um subespaço de dimensão 1), qualquer vetor não-nulo v\in W forma uma base: B=\{v\}.
  • Se W é o plano xy em \mathbb{R}^3, então B=\{(1,0,0),(0,1,0)\} é uma base de W.

Passo 8

Checklist prático para checar se um conjunto \{v_1,\dots,v_k\}\subset W é base (útil na prova):
  • Método 1 (direto): mostrar que \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}=W e provar independência linear (resolver a equação homogênea).
  • Método 2 (quando souber \dim W): provar que os vetores são independentes e que k=\dim W. Se são independentes e têm o mesmo número que a dimensão, então formam uma base.
  • Ferramenta prática: montar a matriz cujas colunas são os vetores v_i e fazer eliminação por Gauss. Se, ao trabalhar no contexto de W, você encontrar pivôs suficientes (ou uma coluna pivotante para cada vetor quando apropriado), você conclui independência/geração conforme o caso.

Passo 9

Recapitulando de forma bem direta (para decorar): “base” = gera + independente. Memoriza essa dupla condição que resolve a maior parte das questões.

Resposta

Um conjunto B=\{v_1,\dots,v_k\}\subset W é uma base de W se, e somente se,
\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}=W
e
\text{os vetores }v_1,\dots,v_k\text{ são linearmente independentes},ã
ou seja, a única solução de a_1 v_1+\dots+a_k v_k=0 é a_1=\dots=a_k=0.

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