Q4. Considere as matrizes linha-equivalentes dadas abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrr} 2 & 1 & 4 & 4 & 17 \\\\ 2 & -3 & 12 & -1 & -2 \\\\ -2 & -5 & 4 & -9 & -36 \\\\ 1 & 0 & 3 & -2 & -4 \end{array}\right] \sim B=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & 0 & 4 \\\\ 0 & 2 & -4 & 1 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
(a) Determine uma base \mathcal{L} do espaço das linhas de A. Escreva explicitamente os vetores da base \mathcal{L}.
(b) Determine uma base \mathcal{N} do espaço nulo (núcleo) da matriz A. Escreva explicitamente os vetores da base \mathcal{N}.
(c) Transcreva as seguintes frases para sua folha de prova, completando as lacunas:
O espaço das linhas de A é um subespaço de \underline{\mathbb{R}^{?}}, e sua dimensão é \_\_\_\_ .
O espaço nulo de A é um subespaço de \_\_\_\_ , e sua dimensão é \_\_\_\_ .

Passo 1

O enunciado fornece que as matrizes A e B são linha-equivalentes e pede três coisas:
  • (a) Determinar uma base \mathcal{L} do espaço das linhas de A, escrevendo explicitamente os vetores da base.
  • (b) Determinar uma base \mathcal{N} do espaço nulo (núcleo) de A, escrevendo explicitamente os vetores da base.
  • (c) Completar as duas frases abaixo:
    • O espaço das linhas de A é um subespaço de \underline{\mathbb{R}^{?}}, e sua dimensão é \_\_\_\_.
    • O espaço nulo de A é um subespaço de \_\_\_\_ , e sua dimensão é \_\_\_\_.
As matrizes dadas no enunciado são
A=\left[\begin{array}{rrrrr} 2 & 1 & 4 & 4 & 17 \\\\ 2 & -3 & 12 & -1 & -2 \\\\ -2 & -5 & 4 & -9 & -36 \\\\ 1 & 0 & 3 & -2 & -4 \end{array}\right] \quad\text{e}\quad B=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & 0 & 4 \\\\ 0 & 2 & -4 & 1 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Observação importante: não resolvemos nada ainda; só listei o que é pedido e quais dados são fornecidos.

Passo 2

Entendimento e estratégia (curtinha e prática): quando duas matrizes são linha-equivalentes, as operações elementares sobre linhas transformam as linhas umas nas outras por combinações lineares. Isso implica que o espaço gerado pelas linhas de A é o mesmo que o espaço gerado pelas linhas de B. Então, para achar uma base do espaço das linhas, posso olhar para B e tomar suas linhas não-nulas que são linearmente independentes. Para achar o núcleo de A é prático resolver A x=0; como A e B são linha-equivalentes, posso resolver B x=0 (mesmas soluções). Vou usar B para montar as equações e identificar variáveis livres e pivôs.

Passo 3

Base do espaço das linhas — ideia teórica curta: o espaço das linhas é o subespaço de \mathbb{R}^{5} gerado pelas linhas da matriz. Uma base pode ser formada por um conjunto de linhas independentes que geram todas as outras. Em forma reduzida por linhas (ou em escalonada), as linhas não-nulas com pivôs dão exatamente esse conjunto independente. Olhe para B: suas linhas (escritas como vetores em \mathbb{R}^{5}) são
\ell_{1}=(1,2,-1,0,4),\quad \ell_{2}=(0,2,-4,1,5),\quad \ell_{3}=(0,0,0,1,3),\quad \ell_{4}=(0,0,0,0,0).

Passo 4

Verificação de independência das linhas de B: note que as linhas não-nulas de B têm pivôs em colunas distintas: \ell_{1} tem pivô na coluna 1, \ell_{2} tem pivô na coluna 2, e \ell_{3} tem pivô na coluna 4. Pivôs em colunas diferentes implicam que essas linhas são linearmente independentes. Portanto, as três linhas não-nulas formam uma base do espaço das linhas de B, e por linha-equivalência, também do espaço das linhas de A.

Passo 5

Conclusão prática para a parte (a): uma base \mathcal{L} do espaço das linhas de A é o conjunto das três linhas não-nulas de B:
\mathcal{L}=\left\{(1,2,-1,0,4),\; (0,2,-4,1,5),\; (0,0,0,1,3)\right\}.
Explicando de modo amigável: em prova, se te derem a forma escalonada, pega as linhas não-nulas — pronto, é base do espaço das linhas.

Passo 6

Agora vamos ao núcleo: queremos todas as soluções de A x=0. Como A e B são linha-equivalentes, o sistema A x=0 tem o mesmo conjunto de soluções que B x=0. Escrevo as equações correspondentes às linhas não-nulas de B. Seja x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})^{T}. As equações vindas de B x=0 são:
\begin{aligned} \text{(linha 1):}&\quad x_{1}+2x_{2}-x_{3}+0\cdot x_{4}+4x_{5}=0,\\\ \text{(linha 2):}&\quad 0\cdot x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+x_{4}+5x_{5}=0,\\\ \text{(linha 3):}&\quad 0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}+x_{4}+3x_{5}=0. \end{aligned}

Passo 7

Identificação de pivôs e variáveis livres: observando B, os pivôs estão nas colunas 1,2,4. Assim:
  • variáveis pivô: x_{1},x_{2},x_{4};
  • variáveis livres: x_{3},x_{5}.
Vamos parametrizar por x_{3} e x_{5}. Defina s:=x_{3} e t:=x_{5}. A partir da terceira equação obtemos diretamente
x_{4}+3x_{5}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{4}=-3t.

Passo 8

Usar a segunda equação para achar x_{2}. A segunda equação é
2x_{2}-4x_{3}+x_{4}+5x_{5}=0.
Substituindo x_{3}=s e x_{4}=-3t e x_{5}=t:
2x_{2}-4s+(-3t)+5t=0 \quad\Rightarrow\quad 2x_{2}-4s+2t=0.
Logo
x_{2}=2s-t.
Expliquei cada substituição para você poder replicar passo a passo na prova.

Passo 9

Usar a primeira equação para achar x_{1}. A primeira equação é
x_{1}+2x_{2}-x_{3}+4x_{5}=0.
Substituindo x_{2}=2s-t, x_{3}=s, x_{5}=t:
x_{1}+2(2s-t)-s+4t=0.
Fazendo as contas devagar:
x_{1}+4s-2t-s+4t=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+3s+2t=0.
Portanto
x_{1}=-3s-2t.

Passo 10

Escrevendo a solução geral em função de s e t:
x=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\x_{5}\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-3\\\ 2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 0\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix},
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros correspondentes a x_{3} e x_{5}. Isso mostra que o núcleo é um subespaço de dimensão 2, gerado pelos dois vetores acima.

Passo 11

Conclusão prática para a parte (b): uma base \mathcal{N} do espaço nulo de A é
\mathcal{N}=\left\{\begin{pmatrix}-3\\\ 2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 0\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Dica amiga: na prova, identifique pivôs e variáveis livres, coloque parâmetros para as livres, resolva regressivamente para as pivôs — sempre funciona.

Passo 12

Parte (c) — preencher as lacunas usando o que já vimos:
  • O espaço das linhas é formado por vetores linha de comprimento 5, logo é um subespaço de \mathbb{R}^{5}. A dimensão do espaço das linhas é o número de vetores da base que encontramos, que é 3.
  • O espaço nulo é o conjunto de vetores x\in\mathbb{R}^{5} tais que Ax=0; portanto é um subespaço de \mathbb{R}^{5}. A dimensão do núcleo (nullity) é 2 — obtida pelo número de parâmetros livres (ou por 5-\text{rank}=5-3=2).

Resposta

(a) \mathcal{L}=\left\{(1,2,-1,0,4),\; (0,2,-4,1,5),\; (0,0,0,1,3)\right\}
(b) \mathcal{N}=\left\{\begin{pmatrix}-3\\\ 2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 0\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}\right\}
(c) O espaço das linhas de A é um subespaço de \mathbb{R}^{5}, e sua dimensão é 3.
O espaço nulo de A é um subespaço de \mathbb{R}^{5}, e sua dimensão é 2.

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