Dados e subespaços do espaço vetorial determine, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de .
(ii) uma base e a dimensão de .
(iii) uma base e a dimensão de .
(iv) uma base e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre subespaços vetoriais e dentro de . Precisamos encontrar bases e dimensões desses subespaços, além da interseção e da soma . Para isso, vamos utilizar conceitos de subespaços, bases, dimensões e operações entre subespaços como intersecção e soma.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o subespaço . Ele é definido por todos os vetores em onde . Isso significa que consiste em todos os vetores que têm a primeira coordenada igual a zero.
Passo 3
Para encontrar uma base de , precisamos encontrar vetores que gerem todo o subespaço e que sejam linearmente independentes. Como , os vetores em são da forma . Podemos expressar isso como combinação linear de dois vetores:
Então, uma base para é .
Passo 4
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como a base de tem 2 vetores, concluímos que a dimensão de é 2.
Passo 5
Agora, vamos analisar o subespaço . Ele é gerado pelos vetores , , e . Para encontrar uma base de , precisamos identificar quais desses vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Vamos colocar esses vetores como colunas em uma matriz e fazer o escalonamento para verificar a independência:
Após realizar operações de linha, podemos ver que o terceiro vetor é múltiplo dos anteriores, então apenas dois vetores são suficientes para gerar W . Portanto, uma base para W é , (2, 2, 0),, (1, 2, 3) , .
Passo 7
A dimensão de W é o número de vetores na sua base, que são 2. Então, a dimensão de W é 2.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a interseção U cap W . Isso significa encontrar todos os vetores que estão tanto em U quanto em W . Sabemos que em U , x = 0 . Então, precisamos resolver o sistema onde x = 0 e o vetor pertence a W .
Passo 9
Usando a base de W , queremos encontrar y e z tais que:
(0, y, z) = a cdot (2, 2, 0) + b cdot (1, 2, 3)
Isso nos dá o sistema:
0 = 2a + b y = 2a + 2b z = 0a + 3b
Passo 10
Resolvendo a primeira equação: 0 = 2a + b implica b = -2a .
Substituindo na segunda equação: y = 2a + 2(-2a) = 2a - 4a = -2a .
E na terceira: z = 3(-2a) = -6a .
Passo 11
Portanto, os vetores na interseção U cap W são da forma (0, -2a, -6a) , onde a é um escalar. Podemos escrever isso como:
(0, -2a, -6a) = a cdot (0, -2, -6)
Então, uma base para U cap W é , (0, -2, -6) , .
Passo 12
A dimensão de U cap W é o número de vetores na sua base. Como temos apenas 1 vetor, a dimensão é 1.
Passo 13
Por fim, vamos encontrar a soma U + W . A soma de subespaços é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de W .
Passo 14
A fórmula para a dimensão da soma de subespaços é:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Sabemos que dim(U) = 2 , dim(W) = 2 e dim(U cap W) = 1 .
Passo 15
Substituindo na fórmula:
dim(U + W) = 2 + 2 - 1 = 3
Isso significa que U + W tem dimensão 3, que é a dimensão de R^3 . Portanto, U + W = R^3 .
Resposta
(i) A base de U é , (0, 1, 0),, (0, 0, 1) , e sua dimensão é 2.
(ii) A base de W é , (2, 2, 0),, (1, 2, 3) , e sua dimensão é 2.
(iii) A base de U cap W é , (0, -2, -6) , e sua dimensão é 1.
(iv) A base de U + W é toda R^3 e sua dimensão é 3.