Dados U e W subespaços do espaço vetorial V determine, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de U.
(ii) uma base e a dimensão de W.
(iii) uma base e a dimensão de U cap W.
(iv) uma base e a dimensão de U+W.
U=(x, y, z) in R^3 ; x=0, W=[(2,2,0),(1,2,3),(7,12,21),(-1,-2,-3)] e V=R^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre subespaços vetoriais U e W dentro de V = R^3 . Precisamos encontrar bases e dimensões desses subespaços, além da interseção U cap W e da soma U + W . Para isso, vamos utilizar conceitos de subespaços, bases, dimensões e operações entre subespaços como intersecção e soma.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o subespaço U . Ele é definido por todos os vetores (x, y, z) em R^3 onde x = 0 . Isso significa que U consiste em todos os vetores que têm a primeira coordenada igual a zero.

Passo 3

Para encontrar uma base de U , precisamos encontrar vetores que gerem todo o subespaço e que sejam linearmente independentes. Como x = 0 , os vetores em U são da forma (0, y, z) . Podemos expressar isso como combinação linear de dois vetores:
(0, y, z) = y cdot (0, 1, 0) + z cdot (0, 0, 1)
Então, uma base para U é , (0, 1, 0),, (0, 0, 1) , .

Passo 4

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como a base de U tem 2 vetores, concluímos que a dimensão de U é 2.

Passo 5

Agora, vamos analisar o subespaço W . Ele é gerado pelos vetores (2, 2, 0) , (1, 2, 3) , (7, 12, 21) e (-1, -2, -3) . Para encontrar uma base de W , precisamos identificar quais desses vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Vamos colocar esses vetores como colunas em uma matriz e fazer o escalonamento para verificar a independência:
2 & 1 & 7 & -1 2 & 2 & 12 & -2 0 & 3 & 21 & -3
Após realizar operações de linha, podemos ver que o terceiro vetor é múltiplo dos anteriores, então apenas dois vetores são suficientes para gerar W . Portanto, uma base para W é , (2, 2, 0),, (1, 2, 3) , .

Passo 7

A dimensão de W é o número de vetores na sua base, que são 2. Então, a dimensão de W é 2.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a interseção U cap W . Isso significa encontrar todos os vetores que estão tanto em U quanto em W . Sabemos que em U , x = 0 . Então, precisamos resolver o sistema onde x = 0 e o vetor pertence a W .

Passo 9

Usando a base de W , queremos encontrar y e z tais que:
(0, y, z) = a cdot (2, 2, 0) + b cdot (1, 2, 3)
Isso nos dá o sistema:
0 = 2a + b y = 2a + 2b z = 0a + 3b

Passo 10

Resolvendo a primeira equação: 0 = 2a + b implica b = -2a .
Substituindo na segunda equação: y = 2a + 2(-2a) = 2a - 4a = -2a .
E na terceira: z = 3(-2a) = -6a .

Passo 11

Portanto, os vetores na interseção U cap W são da forma (0, -2a, -6a) , onde a é um escalar. Podemos escrever isso como:
(0, -2a, -6a) = a cdot (0, -2, -6)
Então, uma base para U cap W é , (0, -2, -6) , .

Passo 12

A dimensão de U cap W é o número de vetores na sua base. Como temos apenas 1 vetor, a dimensão é 1.

Passo 13

Por fim, vamos encontrar a soma U + W . A soma de subespaços é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de W .

Passo 14

A fórmula para a dimensão da soma de subespaços é:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Sabemos que dim(U) = 2 , dim(W) = 2 e dim(U cap W) = 1 .

Passo 15

Substituindo na fórmula:
dim(U + W) = 2 + 2 - 1 = 3
Isso significa que U + W tem dimensão 3, que é a dimensão de R^3 . Portanto, U + W = R^3 .

Resposta

(i) A base de U é , (0, 1, 0),, (0, 0, 1) , e sua dimensão é 2.
(ii) A base de W é , (2, 2, 0),, (1, 2, 3) , e sua dimensão é 2.
(iii) A base de U cap W é , (0, -2, -6) , e sua dimensão é 1.
(iv) A base de U + W é toda R^3 e sua dimensão é 3.

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