Seja
dada por:
(b) Determine as assintotas verticais, horizontais e/ou obliquas se existerem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas verticais, horizontais e/ou oblíquas da função $ f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x} $. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente no estudo de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender o que são essas assíntotas e como identificá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem nos valores de $ x $ onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador da fração é zero. Então, vamos encontrar esses pontos para a nossa função.
Passo 3
Olha só, na função $ f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x} $, o denominador é $ x $. Para achar onde o denominador é zero, resolvemos:
Portanto, $ x = 0 $ é o ponto onde a função não está definida, o que significa que há uma assíntota vertical em $ x = 0 $.
Passo 4
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais ou oblíquas. Para isso, comparamos os graus do polinômio do numerador e do denominador. O grau é o maior expoente de $ x $ na expressão.
Na nossa função:
- O numerador $ x^{2} + 1 $ tem grau 2.
- O denominador $ x $ tem grau 1.
Passo 5
Como o grau do numerador (2) é maior que o grau do denominador (1) em exatamente 1, isso indica que existe uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, dividimos o numerador pelo denominador.
Fazendo a divisão:
Quando $ x $ tende ao infinito, o termo $ \frac{1}{x} $ se aproxima de zero, então a assíntota oblíqua é $ y = x $.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x} $ possui uma assíntota vertical em $ x = 0 $ e uma assíntota oblíqua em $ y = x $.