Seja
uma função com domínio
e
, sendo
o conjunto dos pontos de acumulação de
. Mostre que:
Se
, então existe
e
tais que
, para todo
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida em um conjunto
e um ponto
que é um ponto de acumulação de
(ou seja, em torno de
tem uns pontos de
). A matéria que vamos usar aqui é sobre limites de funções. O objetivo é mostrar que, se a função
tem um limite
quando
se aproxima de
, então podemos encontrar dois números
e
e um intervalo em torno de
tal que
fica entre
e
dentro desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
. Isso quer dizer que, para qualquer
, existe um
tal que, se
, então
. Basicamente,
fica tão perto de
quanto quisermos quando
está bem perto de
.
Passo 3
Vamos escolher um
específico para facilitar. Vamos pegar
. Assim, existe um
tal que, se
, então
.
Passo 4
A partir de
, podemos escrever isso como:
Isso significa que
está dentro de 1 unidade de
.
Passo 5
Adicionando
em todas as partes da desigualdade, temos:
Então, definindo
e
, garantimos que
sempre que
estiver no intervalo
.
Resposta
Assim, mostramos que existe um
e números
e
tais que
para todo
no intervalo
.