Seja A subset R, f uma função com domínio A e a in A^prime, sendo A^prime o conjunto dos pontos de acumulação de A. Mostre que:
Se lim x a f(x)=L, então existe de0 e k1 tais que k1, para todo x in] a-de.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida em um conjunto e um ponto que é um ponto de acumulação de (ou seja, em torno de tem uns pontos de ). A matéria que vamos usar aqui é sobre limites de funções. O objetivo é mostrar que, se a função tem um limite quando se aproxima de , então podemos encontrar dois números e e um intervalo em torno de tal que fica entre e dentro desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que . Isso quer dizer que, para qualquer , existe um tal que, se , então . Basicamente, fica tão perto de quanto quisermos quando está bem perto de .

Passo 3

Vamos escolher um específico para facilitar. Vamos pegar . Assim, existe um tal que, se , então .

Passo 4

A partir de -1 < f(x) - L < 1 , podemos escrever isso como:
Isso significa que está dentro de 1 unidade de .

Passo 5

Adicionando L - 1 < f(x) < L + 1 em todas as partes da desigualdade, temos:
Então, definindo e , garantimos que sempre que estiver no intervalo .

Resposta

Assim, mostramos que existe um e números e tais que para todo no intervalo .

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