(1, 0) Seja A subset R. A fim de que f: A R seja contínua é necessário e suficiente que f^-1(B) seja aberto, qualquer que seja B subset R aberto.

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto AsubsetR (com a topologia usual restrita a A) e uma função
fcolon AtoR
Queremos mostrar que f é contínua em A (no sentido varepsilon- de<a) se, e somente se, para todo aberto BsubsetR o conjunto
f^-1(B)=,xin Amid f(x)in B
é aberto em A.
Lembramos que Usubset A é aberto em A se existe um aberto VsubsetR tal que U=Vcap A.

Passo 2

( Rightarrow) Suponha que f seja contínua em todo xin A. Tome qualquer aberto BsubsetR. Queremos ver que f^-1(B) é aberto em A.
Escolha um ponto xin f^-1(B). Então f(x)in B e, como B é aberto em R, existe varepsilon>0 tal que
l(f(x)-varepsilon,;f(x)+varepsilonr)subset B
Pela continuidade de f em x, existe de<a>0 tal que, sempre que yin A e lvert y-xrvert<de<a, então
lvert f(y)-f(x)rvert<varepsilon,
ou seja f(y)in(f(x)-varepsilon,f(x)+varepsilon)subset B. Logo
(yin A e |y-x|<de<a)Longrightarrow yin f^-1(B),
ou seja
(x-de<a,x+de<a)cap A;subset;f^-1(B)
Como isso vale para todo xin f^-1(B), concluímos que
f^-1(B);=;cupxin f^-1(B)l((x-de<ax,x+de<ax)cap Ar)
é união de abertos de A e, portanto, aberto em A.

Passo 3

( Leftarrow) Agora suponha que, para todo aberto BsubsetR, o conjunto f^-1(B) seja aberto em A. Vamos provar que f é contínua em cada ponto ain A.

Passo 4

Fixe ain A e um varepsilon>0. Considere o intervalo aberto em R
Bvarepsilon = l(f(a)-varepsilon,;f(a)+varepsilonr)
Pela hipótese, f^-1(Bvarepsilon) é aberto em A. Então existe de<a>0 tal que
(a-de<a,a+de<a)cap A;subset;f^-1(Bvarepsilon)
Isso significa que, sempre que xin A e lvert x-arvert<de<a, temos xin f^-1(Bvarepsilon), i.e.
lvert f(x)-f(a)rvert<varepsilon
Isto mostra que f satisfaz a definição varepsilon - de<a de continuidade em a.

Resposta

Concluímos que a função fcolon AtoR é contínua em A se, e somente se, para todo aberto BsubsetR o conjunto inverso f^-1(B) é aberto em A.

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