Seja
. A fim de que
seja contínua é necessário e suficiente que
seja aberto, qualquer que seja
aberto.
Passo 1
O enunciado diz que temos um conjunto
(com a topologia usual restrita a
) e uma função
Queremos mostrar que
é contínua em
(no sentido
-
) se, e somente se, para todo aberto
o conjunto
é aberto em
.
Lembramos que é aberto em
se existe um aberto
tal que
.
Lembramos que
Passo 2
(
) Suponha que
seja contínua em todo
. Tome qualquer aberto
. Queremos ver que
é aberto em
.
Escolha um ponto . Então
e, como
é aberto em
, existe
tal que
Escolha um ponto
Pela continuidade de
em
, existe
tal que, sempre que
e
, então
ou seja
. Logo
ou seja
Como isso vale para todo
, concluímos que
é união de abertos de
e, portanto, aberto em
.
Passo 3
(
) Agora suponha que, para todo aberto
, o conjunto
seja aberto em
. Vamos provar que
é contínua em cada ponto
.
Passo 4
Fixe
e um
. Considere o intervalo aberto em
Pela hipótese,
é aberto em
. Então existe
tal que
Isso significa que, sempre que
e
, temos
, i.e.
Isto mostra que
satisfaz a definição
de continuidade em
.
Resposta
Concluímos que a função
é contínua em
se, e somente se, para todo aberto
o conjunto inverso
é aberto em
.