Utilizando os corolários do teorema de Green, calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas:
y=x^2 e y^2=x

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y^2 = x usando corolários do teorema de Green. Vamos empregar a fórmula
A = ointC x,dy
onde C é o contorno percorrido em sentido anti-horário, de modo que a região fique sempre à esquerda.

Passo 2

Primeiro, encontramos as interseções das curvas. Igualando
y = x^2 e y^2 = x
substituímos x = y^2 em y = x^2, obtendo
y = (y^2)^2 = y^4 ;Longrightarrow; y^4 - y = 0 ;Longrightarrow; y(y^3-1)=0 ;Longrightarrow; y=0 ou y=1
Logo os pontos de interseção são (0,0) e (1,1). O contorno C é formado por dois trechos:
C1: curva y=x^2 de (0,0) a (1,1).
C2: curva x=y^2 de (1,1) de volta a (0,0).

Passo 3

Parametrizamos C1 por
x = t, y = t^2, tin[0,1]
Então dy = 2t,dt e
integralC1 x,dy = integral0^1 t,(2t,dt) = 2integral0^1 t^2,dt = 2cdot13 = 23

Passo 4

Parametrizamos C2 por
x = t^2, y = t, tin[1,0],
percorrendo de (1,1) a (0,0). Aqui dy = dt e
integralC2 x,dy = integral1^0 t^2,dt = -integral0^1 t^2,dt = -13

Passo 5

Somando as duas contribuições,
ointC x,dy = integralC1 x,dy + integralC2 x,dy = 23 - 13 = 13
Pelo corolário do teorema de Green, A=ointCx,dy, concluímos que a área é tfrac13.

Resposta

A área da região é 13.

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