Utilizando os corolários do teorema de Green, calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
usando corolários do teorema de Green. Vamos empregar a fórmula
onde
é o contorno percorrido em sentido anti-horário, de modo que a região fique sempre à esquerda.
Passo 2
Primeiro, encontramos as interseções das curvas. Igualando
substituímos
em
, obtendo
Logo os pontos de interseção são
e
. O contorno
é formado por dois trechos:
— : curva
de
a
.
— : curva
de
de volta a
.
—
—
Passo 3
Parametrizamos
por
Então
e
Passo 4
Parametrizamos
por
percorrendo de
a
. Aqui
e
Passo 5
Somando as duas contribuições,
Pelo corolário do teorema de Green,
, concluímos que a área é
.
Resposta
A área da região é
.