7 Seja B=(1,1),(1,-1) subset R^2 e seja T: R^2 R^2 tal que [T]B=(cc1 & 0 -1 & 3). Encontre [T]C, onde C é a base canônica de R^2.

Passo 1

O enunciado dá a base B=(1,1),(1,-1) e a matriz de T nessa base
[T]B = 1 & 0 -1 & 3
e pede a matriz de T na base canônica C=e1,e2.
O conteúdo aqui é mudança de base e similaridade de matrizes:
[T]C = P,[T]B,P^-1,
onde P leva coordenadas de B para coordenadas canônicas.

Passo 2

Formamos P cujas colunas são os vetores de B escritos na base canônica:
P = 1 & 1 1 & -1

Passo 3

Calculamos P^-1. Como det P = (1)(-1)-(1)(1)=-2,
P^-1 =1-2 -1 & -1 -1 & 1 =1/2 & 1/2 1/2 & -1/2

Passo 4

Agora fazemos a similaridade:
[T]C = P,[T]B,P^-1 =1 & 1 1 & -1 1 & 0 -1 & 3 1/2 & 1/2 1/2 & -1/2
Carregando a multiplicação obtém-se
[T]C =3/2 & -3/2 -1/2 & 5/2

Resposta

[T]C =3/2 & -3/2 -1/2 & 5/2

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