Determine dimK I(T) e dimK N(T) nas seguintes transformações lineares :
b) T(x, y, z)=(y, z, x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a dimensão da imagem e da nulidade da aplicação linear
Tcolon K^3 to K^3, T(x,y,z) = (y,z,x)
O conteúdo aqui é o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão), que diz que para uma transformação linear em um espaço de dimensão n vale
dimK N(T) + dimK I(T) = n
Como n=3, basta achar uma dessas dimensões para obter a outra.

Passo 2

Vamos achar o núcleo de T. Precisamos resolver
T(x,y,z) = (y,z,x) = (0,0,0)
Esse sistema dá as equações
y=0, z=0, x=0
Logo, a única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Portanto
N(T)=(0,0,0) Longrightarrow dimK N(T)=0

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, temos
dimK N(T) + dimK I(T) = 3,
então
0 + dimK I(T) = 3 Longrightarrow dimK I(T) = 3

Resposta

dimK I(T)=3
dimK N(T)=0

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