6 Sejam E o espaço das matrizes 2 times 2 com coeficientes reais, A=(ll1 & 2 0 & 1) in E e T: E E, definida por T(X)=A X-X A. Prove que T é linear e encontre k e r(T) e Im(T).

Passo 1

O enunciado define o espaço E das matrizes 2times 2 reais e a aplicação
Tcolon EtoE, T(X)=AX - XA,
onde
A = 1 & 2 [6pt]0 & 1
O que precisamos: (i) mostrar que T é linear; (ii) encontrar ker(T); (iii) encontrar Im(T).]

Passo 2

Para provar que T é linear, tomemos X,YinE e lambdainR. Então
T(X+Y)=A(X+Y)-(X+Y)A=AX+AY - XA - YA = (AX-XA)+(AY-YA) = T(X)+T(Y),
e
T(lambda X)=A(lambda X)-(lambda X)A = lambda(AX-XA) = lambda,T(X)
Logo, T preserva soma e produto escalar, ou seja, é linear.

Passo 3

Para achar
e impomos . Calculando
Igualando em cada entrada obtemos o sistema
Daí . Portanto
]

Passo 4

Para caracterizar , calculamos de novo para :
Isso mostra que qualquer tem forma
onde e percorrem todo . Logo
que é um subespaço de dimensão .

Resposta

ker(T)=la & b0 & ar, Im(T)=lu & v0 & -ur

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