6 Sejam
o espaço das matrizes
com coeficientes reais,
T: E E , definida por
T(X)=A X-X A . Prove que
T é linear e encontre
k e r(T) e
Im(T) .
Passo 1
O enunciado define o espaço
E das matrizes
2times 2 reais e a aplicação
onde
O que precisamos: (i) mostrar que
T é linear; (ii) encontrar
ker(T) ; (iii) encontrar
Im(T) .]
Passo 2
Para provar que
T é linear, tomemos
X,YinE e
lambdainR . Então
e
Logo,
T preserva soma e produto escalar, ou seja, é linear.
Passo 3
Para achar
e impomos
. Calculando
Igualando
em cada entrada obtemos o sistema
Daí . Portanto
Passo 4
Para caracterizar
, calculamos
de novo para
:
Isso mostra que qualquer
tem forma
onde
e
percorrem todo
. Logo
que é um subespaço de dimensão
.