Seja:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=2
Calcule:
\sum_{n=0}^{\infty}\left[3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right] .

Passo 1

O enunciado nos dá a soma geométrica conhecida
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=2.
Ele pede que calculemos a soma
\sum_{n=0}^{\infty}\left[3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right].
Informações relevantes fornecidas:
  • A série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} converge e vale 2.
  • Queremos o valor numérico da série que, termo a termo, é 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}-\left(\tfrac{1}{4}\right)^{n}.

Passo 2

Usaremos propriedades básicas de somas de séries infinitas (quando as séries convergem):
  • Linearidade: se \sum a_n e \sum b_n convergem, então \sum (c\,a_n)=c\sum a_n para constante c, e \sum (a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n.
    Aplicando isso à série pedida, podemos separar em duas séries:
\sum_{n=0}^{\infty}\left[3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right] = 3\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} - \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}.

Passo 3

Lembra do fórmula da série geométrica: para r real com |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Derivação curta e intuitiva: chame S=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=1+r+r^{2}+\cdots. Multiplicando por r rS=r+r^{2}+\cdots. Subtraindo,
S-rS = 1 \quad\Rightarrow\quad S(1-r)=1 \quad\Rightarrow\quad S=\frac{1}{1-r},
desde que |r|<1 para garantir que os termos vão a zero e a soma faça sentido.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao primeiro termo com r=\tfrac{1}{2}:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.
Multiplicando por 3 (constante que sai da soma):
3\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=3\cdot 2=6.

Passo 5

Agora aplique ao segundo termo com r=\tfrac{1}{4}:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{\tfrac{3}{4}}=\frac{4}{3}.

Passo 6

Subtraindo as duas parcelas obtidas:
6-\frac{4}{3}=\frac{18}{3}-\frac{4}{3}=\frac{14}{3}.

Resposta

\dfrac{14}{3}

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