Seja:
Calcule:
Passo 1
O enunciado nos dá a soma geométrica conhecida
Ele pede que calculemos a soma
Informações relevantes fornecidas:
- A série geométrica
converge e vale . - Queremos o valor numérico da série que, termo a termo, é
.
Passo 2
Usaremos propriedades básicas de somas de séries infinitas (quando as séries convergem):
- Linearidade: se
e convergem, então para constante , e .
Aplicando isso à série pedida, podemos separar em duas séries:
Passo 3
Lembra do fórmula da série geométrica: para
real com
,
Derivação curta e intuitiva: chame
. Multiplicando por
dá
. Subtraindo,
desde que
para garantir que os termos vão a zero e a soma faça sentido.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao primeiro termo com
:
Multiplicando por
(constante que sai da soma):
Passo 5
Agora aplique ao segundo termo com
:
Passo 6
Subtraindo as duas parcelas obtidas: