Determine se a série converge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n(n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série converge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n(n+1)}.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{3}{n(n+1)} para n=1,2,3,\dots.
  • A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se converge, normalmente também importa o valor da soma.)

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do método que vou usar): vou tentar decompor o termo geral em frações mais simples para ver se a soma “cancela” entre termos consecutivos — isso é chamado de decomposição em frações parciais seguida de soma telescópica. Telescoping significa que vários termos intermediários se anulam quando somamos os primeiros N termos, sobrando apenas poucas parcelas nas extremidades, o que facilita calcular o limite quando N\to\infty.

Passo 3

Decomposição em frações parciais (passo a passo bem explícito).
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{3}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Colocando no mesmo denominador:
\frac{3}{n(n+1)}=\frac{A(n+1)+Bn}{n(n+1)}.
Igualando numeradores obtemos a identidade em n:
3 = A(n+1)+Bn = (A+B)n + A.
Comparando coeficientes (coeficiente de n e termo constante):
  • coeficiente de n: A+B=0,
  • termo constante: A=3.
Da segunda equação temos A=3. Substituindo em A+B=0 3+B=0, logo B=-3.
Portanto a decomposição é
\frac{3}{n(n+1)}=\frac{3}{n}-\frac{3}{n+1}.

Passo 4

Montagem da soma parcial e demonstração do telescópico.
Considere a soma parcial com N termos:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{3}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{3}{n}-\frac{3}{n+1}\right).
Escrevendo explicitamente os primeiros termos para ver o cancelamento:
S_N=\left(\frac{3}{1}-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{3}\right)+\left(\frac{3}{3}-\frac{3}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{3}{N}-\frac{3}{N+1}\right).
Agora observe o cancelamento par a par:
  • -\frac{3}{2} cancela com +\frac{3}{2},
  • -\frac{3}{3} cancela com +\frac{3}{3},
  • e assim por diante até -\frac{3}{N} cancelar com +\frac{3}{N}.
Sobram apenas os termos das extremidades:
S_N = \frac{3}{1}-\frac{3}{N+1} = 3 - \frac{3}{N+1}.

Passo 5

Tomando limite quando N\to\infty.
Temos
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty}\left(3-\frac{3}{N+1}\right) = 3-0 = 3.
Como a sequência das somas parciais S_N converge para um número finito ( 3), a série original converge e seu somatório é 3.

Passo 6

Observação adicional didática (reforço): comparação assintótica. Para n\ge1 vale
\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^2},
logo
\frac{3}{n(n+1)}<\frac{3}{n^2}.
Como a série \sum \frac{3}{n^2} é uma p-série convergente ( p=2>1), isso também mostra por comparação que a série dada é convergente. Esta é uma checagem alternativa — mas o resultado exato da soma só foi obtido pela soma telescópica mostrada acima.

Resposta

Converge.
Soma = 3.

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