Determine se a série converge:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série converge:
Informações dadas:
- O termo geral da série é
para . - A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se converge, normalmente também importa o valor da soma.)
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do método que vou usar): vou tentar decompor o termo geral em frações mais simples para ver se a soma “cancela” entre termos consecutivos — isso é chamado de decomposição em frações parciais seguida de soma telescópica. Telescoping significa que vários termos intermediários se anulam quando somamos os primeiros
termos, sobrando apenas poucas parcelas nas extremidades, o que facilita calcular o limite quando
.
Passo 3
Decomposição em frações parciais (passo a passo bem explícito).
Procuramos constantes e
tais que
Procuramos constantes
Colocando no mesmo denominador:
Igualando numeradores obtemos a identidade em
:
Comparando coeficientes (coeficiente de
e termo constante):
- coeficiente de
: , - termo constante:
.
Da segunda equação temos
. Substituindo em
dá
, logo
.
Portanto a decomposição é
Passo 4
Montagem da soma parcial e demonstração do telescópico.
Considere a soma parcial com termos:
Considere a soma parcial com
Escrevendo explicitamente os primeiros termos para ver o cancelamento:
Agora observe o cancelamento par a par:
-
cancela com , -
cancela com , - e assim por diante até
cancelar com .
Sobram apenas os termos das extremidades:
Passo 5
Tomando limite quando
.
Temos
Temos
Como a sequência das somas parciais
converge para um número finito (
), a série original converge e seu somatório é
.
Passo 6
Observação adicional didática (reforço): comparação assintótica. Para
vale
logo
Como a série
é uma p-série convergente (
), isso também mostra por comparação que a série dada é convergente. Esta é uma checagem alternativa — mas o resultado exato da soma só foi obtido pela soma telescópica mostrada acima.
Resposta
Converge.
Soma = .
Soma =