Analise a veracidade das afirmações:
(a) Se a_{n} \rightarrow 0, então \sum a_{n} converge.
(b) Se \sum a_{n} diverge, então \sum 2 a_{n} diverge.
(c) Se \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge, então \sum\left(a_{n}+b_{n}\right) diverge.

Passo 1

O enunciado dá três afirmações sobre séries numéricas e pede que eu analise a veracidade de cada uma. As afirmações são:
(a) Se \,a_{n} \rightarrow 0, então \sum a_{n} converge.
(b) Se \sum a_{n} diverge, então \sum 2 a_{n} diverge.
(c) Se \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge, então \sum\left(a_{n}+b_{n}\right) diverge.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As sequências \{a_n\} e \{b_n\} são sequências reais (situação padrão).
  • A noção de convergência de uma série refere-se à convergência da sequência de somas parciais \displaystyle S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n.
O objetivo: para cada afirmação decidir se é verdadeira ou falsa e justificar com argumentos e/ou contraexemplos.

Passo 2

Conceitos e resultados básicos que vou usar (explicados de forma didática).
  • O que é uma série e seu critério de convergência: a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se e somente se a sequência de somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
tem limite finito quando N\to\infty. Ou seja, existe S\in\mathbb{R} tal que \lim_{N\to\infty} S_N = S.
  • Condição necessária para a convergência: se \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge com soma S, então os termos da sequência satisfazem
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicação simples: a_n = S_n - S_{n-1}. Se S_n\to S e S_{n-1}\to S, então a_n\to S-S=0. Isso mostra que \,a_n\to 0 é uma condição necessária, mas não diz nada sobre ser suficiente.
  • Linearidade em escalares: para qualquer constante real c, a série \displaystyle \sum c\,a_n converge se e somente se \displaystyle \sum a_n converge; nesse caso \displaystyle \sum c\,a_n = c\sum a_n. Isso é direto porque as somas parciais se relacionam por cS_N.
  • Operações com séries convergentes: se \sum a_n e \sum b_n convergem, então \sum (a_n+b_n) converge e \sum (a_n+b_n)=\sum a_n + \sum b_n. Isso decorre da linearidade das somas parciais.
Vou usar esses fatos de forma direta nas análises seguintes.

Passo 3

Análise da afirmação (a).
A afirmação diz: “Se \,a_{n} \rightarrow 0, então \sum a_{n} converge.”
  • Pelo que vimos no passo anterior, a condição \lim_{n\to\infty} a_n = 0 é necessária para que uma série converja, mas não é suficiente: há sequências com termos tendendo a zero cuja série associada diverge.
  • Contraexemplo clássico (harmônico): tomar
a_n=\frac{1}{n}.
Temos \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0, mas a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é conhecida por divergir (é a série harmônica). Vou dar uma prova elementar de divergência por agrupamento (sem integrar ou usar resultados avançados):
Agrupando termos:
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
Observe que
\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2},
\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2},
e, de modo geral, cada bloco com 2^{k-1} termos (começando em n=2^{k-1}+1 até n=2^k) tem soma maior que 1/2. Assim a soma parcial após m blocos é maior que 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots (com m-1 vezes 1/2), e portanto cresce sem limite quando m\to\infty. Logo a série diverge.
  • Conclusão para (a): a afirmação é falsa, pois temos a_n\to0 mas \sum a_n pode divergir (ex.: a_n=1/n).

Passo 4

Análise da afirmação (b).
A afirmação diz: “Se \sum a_{n} diverge, então \sum 2 a_{n} diverge.”
  • Lembre do fato de linearidade em escalares: para qualquer constan te c, as somas parciais de \sum c a_n são exatamente c vezes as somas parciais de \sum a_n. Portanto, se \sum a_n converge com soma S, então \sum 2a_n converge com soma 2S. O inverso também vale: se \sum 2a_n convergisse, então dividindo por 2 a série \sum a_n seria convergente.
  • Prova por contradição direta: suponha que \sum a_n diverge mas \sum 2a_n converge. Então, como dividir uma série convergente por 2 preserva a convergência, teríamos que \sum a_n converge (pois \sum a_n=\tfrac{1}{2}\sum 2a_n), contradizendo a hipótese. Logo a hipótese inicial é impossível; portanto se \sum a_n diverge então \sum 2a_n também diverge.
  • Conclusão para (b): a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmação (c).
A afirmação diz: “Se \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge, então \sum\left(a_{n}+b_{n}\right) diverge.”
  • Argumento por contradição usando linearidade: suponha que \sum a_n converge e que \sum (a_n+b_n) também converja. Então, como a diferença de duas séries convergentes é convergente, teríamos
\sum b_n = \sum (a_n+b_n) - \sum a_n
convergindo (diferença de duas quantias finitas). Isso contradiz a hipótese de que \sum b_n diverge. Logo a suposição de que \sum (a_n+b_n) converge é falsa; portanto \sum (a_n+b_n) diverge.
  • Observação sobre possíveis dúvidas: pode surgir a ideia de “cancelamento” entre a_n e b_n que faria a_n+b_n ter somatório convergente mesmo com \sum b_n divergente. Esse pensamento cai por terra quando lembramos que \sum a_n já converge; se \sum (a_n+b_n) também convergisse, a diferença daria exatamente \sum b_n convergente, o que contradiz a hipótese. Portanto não há exceção: a afirmação é válida para séries reais.
  • Conclusão para (c): a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Recapitulando de forma curta e motivadora (para lembrar na prova):
  • Importante: \lim_{n\to\infty} a_n = 0 é necessário, mas NÃO suficiente para a convergência da série \sum a_n. Tenha sempre um contraexemplo na manga (a série harmônica).
  • Multiplicar uma série por constante não altera o caráter converge/diverge (exceto multiplicar por 0 que transforma em série nula convergente). Para constantes não nulas, convergência é preservada e divergência também.
  • Se soma de dois termos dá série convergente e um deles é convergente, então o outro também deve ser convergente (pois pode ser obtido como diferença). Isso justifica (c).

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira

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