Analise a veracidade das afirmações:
(a) Se
, então
converge.
(b) Se
diverge, então
diverge.
(c) Se
converge e
diverge, então
diverge.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado dá três afirmações sobre séries numéricas e pede que eu analise a veracidade de cada uma. As afirmações são:
(a) Se
, então
converge.
(b) Se
diverge, então
diverge.
(c) Se
converge e
diverge, então
diverge.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As sequências
e são sequências reais (situação padrão). - A noção de convergência de uma série refere-se à convergência da sequência de somas parciais
.
O objetivo: para cada afirmação decidir se é verdadeira ou falsa e justificar com argumentos e/ou contraexemplos.
Passo 2
Conceitos e resultados básicos que vou usar (explicados de forma didática).
- O que é uma série e seu critério de convergência: a série
converge se e somente se a sequência de somas parciais
tem limite finito quando
. Ou seja, existe
tal que
.
- Condição necessária para a convergência: se
converge com soma , então os termos da sequência satisfazem
Explicação simples:
. Se
e
, então
. Isso mostra que
é uma condição necessária, mas não diz nada sobre ser suficiente.
-
Linearidade em escalares: para qualquer constante real
, a série converge se e somente se converge; nesse caso . Isso é direto porque as somas parciais se relacionam por . -
Operações com séries convergentes: se
e convergem, então converge e . Isso decorre da linearidade das somas parciais.
Vou usar esses fatos de forma direta nas análises seguintes.
Passo 3
Análise da afirmação (a).
A afirmação diz: “Se
, então
converge.”
-
Pelo que vimos no passo anterior, a condição
é necessária para que uma série converja, mas não é suficiente: há sequências com termos tendendo a zero cuja série associada diverge. -
Contraexemplo clássico (harmônico): tomar
Temos
, mas a série
é conhecida por divergir (é a série harmônica). Vou dar uma prova elementar de divergência por agrupamento (sem integrar ou usar resultados avançados):
Agrupando termos:
Observe que
e, de modo geral, cada bloco com
termos (começando em
até
) tem soma maior que
. Assim a soma parcial após
blocos é maior que
(com
vezes
), e portanto cresce sem limite quando
. Logo a série diverge.
- Conclusão para (a): a afirmação é falsa, pois temos
mas pode divergir (ex.: ).
Passo 4
Análise da afirmação (b).
A afirmação diz: “Se
diverge, então
diverge.”
-
Lembre do fato de linearidade em escalares: para qualquer constan te
, as somas parciais de são exatamente vezes as somas parciais de . Portanto, se converge com soma , então converge com soma . O inverso também vale: se convergisse, então dividindo por a série seria convergente. -
Prova por contradição direta: suponha que
diverge mas converge. Então, como dividir uma série convergente por preserva a convergência, teríamos que converge (pois ), contradizendo a hipótese. Logo a hipótese inicial é impossível; portanto se diverge então também diverge. -
Conclusão para (b): a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmação (c).
A afirmação diz: “Se
converge e
diverge, então
diverge.”
- Argumento por contradição usando linearidade: suponha que
converge e que também converja. Então, como a diferença de duas séries convergentes é convergente, teríamos
convergindo (diferença de duas quantias finitas). Isso contradiz a hipótese de que
diverge. Logo a suposição de que
converge é falsa; portanto
diverge.
-
Observação sobre possíveis dúvidas: pode surgir a ideia de “cancelamento” entre
e que faria ter somatório convergente mesmo com divergente. Esse pensamento cai por terra quando lembramos que já converge; se também convergisse, a diferença daria exatamente convergente, o que contradiz a hipótese. Portanto não há exceção: a afirmação é válida para séries reais. -
Conclusão para (c): a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Recapitulando de forma curta e motivadora (para lembrar na prova):
-
Importante:
é necessário, mas NÃO suficiente para a convergência da série . Tenha sempre um contraexemplo na manga (a série harmônica). -
Multiplicar uma série por constante não altera o caráter converge/diverge (exceto multiplicar por
que transforma em série nula convergente). Para constantes não nulas, convergência é preservada e divergência também. -
Se soma de dois termos dá série convergente e um deles é convergente, então o outro também deve ser convergente (pois pode ser obtido como diferença). Isso justifica (c).
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira