Seja y(x)=sumn=0^infty ann! x^n uma série de potências. Determine a relação de recorrência que an deve satisfazer para que y(x) seja uma solução da equação:
(1+x^2) y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede a relação de recorrência para os coeficientes an de uma série de potências y(x)=sumn=0^infty ann!x^n tal que (1+x^2)y'' -4x y' +6y=0. O conteúdo envolve derivadas de séries e método de coeficientes indeterminados.

Passo 2

Calculamos y' e y'' termo a termo:
y'(x)=sumn=0^infty an+1n!x^n
y''(x)=sumn=0^infty an+2n!x^n

Passo 3

Agora expandimos cada termo da EDO em séries de potências e realinhamos os expoentes para obter somas em x^n:
(1+x^2)y'' = sumn=0^infty an+2n!x^n + sumn=2^infty an(n-2)!x^n
-4xy' = -4sumn=1^infty an(n-1)!x^n
6y = sumn=0^infty 6ann!x^n

Passo 4

Somando todas as séries e igualando o coeficiente de x^n a zero para todo n>=0, obtemos
an+2n! + an(n-2)! -4an(n-1)! +6ann! = 0

Passo 5

Multiplicando essa expressão por n! e simplificando,
an+2 + l(n(n-1)-4n+6r)an = 0

Passo 6

Observando que n(n-1)-4n+6 = n^2 -5n +6 = (n-2)(n-3), concluímos a forma da recorrência.

Resposta

a_{n+2} = -(n-2)(n-3),a_n

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