Use uma série de MacLaurin para obter a série de MacLaurin para a função dada.
f(x)=2^x.

Passo 1

Estamos querendo desenvolver a função f(x)=2^x em série de MacLaurin. O conteúdo envolve a definição de série de MacLaurin e a série do exponencial. Vamos usar que 2^x=e^xln2 e que a série de MacLaurin de e^u é sumn=0^infty u^nn!.

Passo 2

Como f(x)=e^xln2, a n-ésima derivada é f^(n)(x)=(ln2)^n e^xln2. Em particular, em x=0 temos f^(n)(0)=(ln2)^n.

Passo 3

Pela definição de série de MacLaurin,
f(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n!x^n,
substituindo f^(n)(0)=(ln2)^n obtemos
sumn=0^infty (ln2)^nn!x^n

Resposta

sumn=0^infty (ln2)^nn!x^n

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