(vale: 2,0 ) Calcule a integral de linha
se
e
for o arco no primeiro quadrante da circunferência
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é o arco de círculo no 1.º quadrante dado por
O tema aqui é integral de linha de campos vetoriais. Vamos verificar se
é conservativo (isto é, se existe função potencial
tal que
) e, em caso afirmativo, usar o teorema fundamental das integrais de linha:
Passo 2
Denotemos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
e o domínio de
é simplesmente conexo,
é conservativo e admite potencial
.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar. Em seguida exigimos
logo
Podemos então escolher
Passo 4
Os pontos inicial e final do arco são
Calculamos
Pelo teorema fundamental da integral de linha: