(vale: 2,0 ) Calcule a integral de linha
\int_{C} F \cdot d R
se \mathbf{F}(x, y)=\left(e^{-y}-2 x\right) \mathbf{i}-\left(x e^{-y}+\operatorname{sen} y\right) \mathbf{j} e C for o arco no primeiro quadrante da circunferência
\mathbf{R}(t)=(\pi \cos t) \mathbf{i}+\underset{0}{(\pi \operatorname{sen} t) \mathbf{j}}, \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}F\cdot dR
onde \mathbf{F}(x,y)=(e^{-y}-2x)\,\mathbf{i}-(x e^{-y}+\sin y)\,\mathbf{j} e C é o arco de círculo no 1.º quadrante dado por
\mathbf{R}(t) = (\pi\cos t)\,\mathbf{i}+(\pi\sin t)\,\mathbf{j},\quad 0\le t\le\tfrac{\pi}{2}.
O tema aqui é integral de linha de campos vetoriais. Vamos verificar se \mathbf{F} é conservativo (isto é, se existe função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}) e, em caso afirmativo, usar o teorema fundamental das integrais de linha:
\int_{C}F\cdot dR = \varphi\bigl(R(\tfrac{\pi}{2})\bigr)-\varphi\bigl(R(0)\bigr).

Passo 2

Denotemos
P(x,y)=e^{-y}-2x,\quad Q(x,y)=-\bigl(xe^{-y}+\sin y\bigr).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} = -e^{-y}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = -e^{-y}.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} e o domínio de \mathbf{F} é simplesmente conexo, \mathbf{F} é conservativo e admite potencial \varphi(x,y).

Passo 3

Para achar \varphi, integramos P em relação a x:
\varphi(x,y)=\int (e^{-y}-2x)\,dx = x e^{-y} - x^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Em seguida exigimos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = -x e^{-y} + h'(y) \stackrel{!}{=} Q(x,y) = -x e^{-y} - \sin y,
logo
h'(y) = -\sin y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\cos y.
Podemos então escolher
\varphi(x,y)=x e^{-y}-x^2+\cos y.

Passo 4

Os pontos inicial e final do arco são
R(0) = (\pi,0), \qquad R(\tfrac{\pi}{2}) = (0,\pi).
Calculamos
\varphi(0,\pi) = 0\cdot e^{-\pi}-0+\cos\pi = -1,
\varphi(\pi,0) = \pi\cdot e^0 - \pi^2 + \cos0 = \pi - \pi^2 + 1.
Pelo teorema fundamental da integral de linha:
\int_{C}F\cdot dR = \varphi\bigl(R(\tfrac{\pi}{2})\bigr) - \varphi\bigl(R(0)\bigr) = -1 - (\pi - \pi^2 + 1) = \pi^2 - \pi - 2.

Resposta

\pi^2 - \pi - 2

Exercícios relacionados