Seja C a superfície dada pela equação x^{2}-\frac{y^{2}}{2}-\frac{z^{2}}{3}=2. Qual das seguintes curvas de nível possui a maior excentricidade?
a. \{x=4\} \cap C.
b. \{x=3\} \cap C.
c. \{z=0\} \cap C.
d. \{z=1\} \cap C.
e. \{y=1\} \cap C . \checkmark

Passo 1

O enunciado dá a superfície
x^2 - \frac{y^2}{2} - \frac{z^2}{3} \;=\; 2
e pede para comparar as excentricidades das curvas obtidas ao intersectar C com certos planos. Vamos, para cada plano:
  1. Substituir a coordenada fixa na equação de C.
  2. Colocar o resultado na forma canônica de elipse \bigl(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\bigr) ou hipérbole \bigl(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\bigr).
  3. Usar
e_{\rm elipse}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}},\quad e_{\rm hipérbole}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}.é

Passo 2

Planos x=c com c^2>2 (casos c=4,3). Substituindo em
x^2 - \frac{y^2}{2} - \frac{z^2}{3} = 2
vem
c^2 - \frac{y^2}{2} - \frac{z^2}{3} = 2 \;\Longrightarrow\; \frac{y^2}{2(c^2-2)} + \frac{z^2}{3(c^2-2)} = 1.
É elipse com
a^2 = 3(c^2-2),\quad b^2 = 2(c^2-2),
logo
e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{2(c^2-2)}{3(c^2-2)}} = \sqrt{\tfrac13}.

Passo 3

Planos z=d (casos d=0,1). Substituindo em
x^2 - \frac{y^2}{2} - \frac{z^2}{3} = 2
vem
x^2 - \frac{y^2}{2} = 2 + \frac{d^2}{3}.
Chamando D = 2 + \tfrac{d^2}{3}, fica
\frac{x^2}{D} \;-\;\frac{y^2}{2D}=1,
forma canônica de hipérbole com a^2=D, b^2=2D. Assim
e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}.

Passo 4

Plano y=1. Substituindo em
x^2 - \frac{y^2}{2} - \frac{z^2}{3} = 2
vem
x^2 - \frac12 - \frac{z^2}{3} = 2 \;\Longrightarrow\; x^2 - \frac{z^2}{3} = \frac52.
Em forma canônica:
\frac{x^2}{\tfrac52} \;-\; \frac{z^2}{\tfrac{15}2} = 1,
hipérbole com a^2=\tfrac52, b^2=\tfrac{15}2. Logo
e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 3} = 2.

Passo 5

As excentricidades são
e_{x=4}=e_{x=3}=\sqrt{\tfrac13}\approx0{,}577,\quad e_{z=0}=e_{z=1}=\sqrt{3}\approx1{,}732,\quad e_{y=1}=2.
A maior é 2.

Resposta

(e)

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