67 (Unitau-SP) Uma esfera está inscrita em um cubo de aresta 4 cm .
Calcule a área da superfície esférica e o volume da esfera. 16 \pi \mathrm{~cm}^{2} \mathrm{e} \frac{32 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}

Passo 1

O enunciado diz que uma esfera está inscrita em um cubo de aresta \,4\,\text{cm}. Como a esfera inscrita toca cada face do cubo, seu diâmetro é igual à aresta do cubo. Para resolver, precisamos das fórmulas da área da superfície de uma esfera
A = 4\pi r^2
e do volume de uma esfera
V = \frac{4}{3}\pi r^3.

Passo 2

Como o diâmetro da esfera vale a aresta do cubo, temos
d = 4\,\text{cm},
logo o raio é
r = \frac{d}{2} = \frac{4\,\text{cm}}{2} = 2\,\text{cm}.

Passo 3

Aplicando a fórmula da área da superfície com r = 2\,\text{cm}:
A = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot (2\,\text{cm})^2 = 4\pi \cdot 4\,\text{cm}^2 = 16\pi\,\text{cm}^2.

Passo 4

Aplicando a fórmula do volume com r = 2\,\text{cm}:
V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot (2\,\text{cm})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8\,\text{cm}^3 = \frac{32\pi}{3}\,\text{cm}^3.

Resposta

A área da superfície esférica é 16\pi\,\text{cm}^2.
O volume da esfera é \tfrac{32\pi}{3}\,\text{cm}^3.

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