Quais dos seguintes vetores são combinação linear de V_{1}=(4,2,-3), V_{2}=(2,1,-1) e V_{3}= ( -2,-1,0 )
a) U=(1,1,1)
b) W=(4,2,-6)
c) K=(-2,-1,1)
d) R=(-1,2,3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais vetores
U=(1,1,1), W=(4,2,-6), K=(-2,-1,1) e R=(-1,2,3) são combinação linear de
V_{1}=(4,2,-3), V_{2}=(2,1,-1) e V_{3}=(-2,-1,0).
O conteúdo é “determinar se um vetor está no subespaço gerado por \{V_1,V_2,V_3\}”, o que fazemos montando o sistema
a\,V_1 + b\,V_2 + c\,V_3 = \text{vetor dado}
e checando se há solução em (a,b,c).

Passo 2

Em coordenadas, para um vetor genérico (x,y,z)\) o sistema é \[\begin{cases} 4a + 2b -2c = x,\\\\ 2a + b - c = y,\\\\ -3a- b = z. \end{cases}
Basta substituir (x,y,z)\] por cada um de \(U, W, K e R e testar consistência.

Passo 3

Para U=(1,1,1)\) temos \[\begin{cases} 4a+2b-2c=1,\\\\ 2a+ b - c=1,\\\\ -3a- b =1. \end{cases}
Da terceira equação b=-3a-1\] e da segunda \(c=-a-2. Substituindo na primeira sobra 2=1, impossível.
Logo U não é combinação linear.

Passo 4

Para W=(4,2,-6)\) temos \[\begin{cases} 4a+2b-2c=4,\\\\ 2a+ b - c=2,\\\\ -3a- b =-6. \end{cases}
Da terceira equação b=-3a+6\], da segunda \(c=4-a. Na primeira surge 4=4, consistente.
Logo W é combinação linear.

Passo 5

Para K=(-2,-1,1)\) temos \[\begin{cases} 4a+2b-2c=-2,\\\\ 2a+ b - c=-1,\\\\ -3a- b =1. \end{cases}
Da terceira equação b=-3a-1\], da segunda \(c=-a. Na primeira fica -2=-2, consistente.
Logo K é combinação linear.

Passo 6

Para R=(-1,2,3)\) temos \[\begin{cases} 4a+2b-2c=-1,\\\\ 2a+ b - c=2,\\\\ -3a- b =3. \end{cases}
Da terceira equação b=-3a-3\], da segunda \(c=-a-5. Na primeira sobra 4=-1, impossível.
Logo R não é combinação linear.

Passo 7

Concluímos que apenas W e K estão no subespaço gerado por \{V_1,V_2,V_3\}.

Resposta

W e K (letras b) e c))

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