Para quais valores de t \in \mathbb{R} o plano y=t intersecta a quádrica x^{2}+y^{2}-\frac{z^{2}}{2}=1 em duas retas?
a. \quad t= \pm 1 . \checkmark
b. \quad t \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}].
c. t \in[-1,1].
d. \quad t=0.
e. \quad t= \pm \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de t de forma que o plano y=t intersecte a quádru-rica
x^{2}+y^{2}-\frac{z^{2}}{2}=1
em duas retas. Aqui vamos usar interseção de superfícies e análise de cônicas: após substituir y=t, estudamos quando a cônica resultante degenera em duas retas.

Passo 2

Substituindo y=t em
x^{2}+y^{2}-\frac{z^{2}}{2}=1
temos
x^{2}+t^{2}-\frac{z^{2}}{2}=1.
Multiplicando tudo por 2, obtemos a cônica no plano y=t:
2x^{2}-z^{2}=2(1-t^{2}).

Passo 3

A equação
2x^{2}-z^{2}=2(1-t^{2})
é uma hipérbole sempre que 1-t^{2}\neq0. Para que seja a união de duas retas, o termo independente deve zerar:
2(1-t^{2})=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad t=\pm1.
Nesse caso a equação torna-se
2x^{2}-z^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad (\sqrt{2}x - z)(\sqrt{2}x + z)=0,
ou seja, duas retas.

Resposta

t=\pm1

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