Seja a trajetória de uma partícula em movimento definida como uma função do tempo t pelo vetor de posição r(t)=t i+(cos ^2 t) j+(sen^2 t) k, para t >= 0. Calcule a velocidade e a aceleração num ponto qualquer dessa trajetória e determine os componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja trajetória é dada pela função vetor r(t) = t i + (cos^2 t) j + (sin^2 t) k, onde t >= 0. Nosso objetivo é calcular a velocidade e a aceleração em um ponto qualquer dessa trajetória e, a partir daí, determinar as componentes tangencial e normal do vetor aceleração. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de r(t) em relação a t.
A função posição é:
r(t) = t i + cos^2 t j + sin^2 t k
Derivando cada componente:
v(t) = dr(t)dt = ddt(t) i + ddt(cos^2 t) j + ddt(sin^2 t) k
Calculando as derivadas:
ddt(t) = 1
ddt(cos^2 t) = 2cos t cdot (-sin t) = -2cos t sin t
ddt(sin^2 t) = 2sin t cdot cos t = 2sin t cos t
Então, a velocidade é:
v(t) = i - 2cos t sin t j + 2sin t cos t k

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Temos:
v(t) = i - 2cos t sin t j + 2sin t cos t k
Derivando cada componente:
a(t) = dv(t)dt = ddt(1) i + ddt(-2cos t sin t) j + ddt(2sin t cos t) k
Calculando as derivadas:
ddt(1) = 0
ddt(-2cos t sin t) = -2(ddt(cos t) sin t + cos t ddt(sin t)) = -2(-sin t sin t + cos t cos t) = 2sin^2 t - 2cos^2 t
ddt(2sin t cos t) = 2(ddt(sin t) cos t + sin t ddt(cos t)) = 2(cos t cos t - sin t sin t) = 2cos^2 t - 2sin^2 t
Então, a aceleração é:
a(t) = (0) i + (2sin^2 t - 2cos^2 t) j + (2cos^2 t - 2sin^2 t) k

Passo 4

Agora que temos a velocidade v(t) e a aceleração a(t), vamos determinar as componentes tangencial ( at) e normal ( an) do vetor aceleração.
A componente tangencial da aceleração é dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo e projetada na direção da velocidade:
at = d|v|dt
A componente normal da aceleração é perpendicular à direção da velocidade e pode ser calculada usando a seguinte relação:
an = raiz|a|^2 - at^2
Primeiro, vamos encontrar o módulo da velocidade |v(t)|:
|v(t)| = raiz(1)^2 + (-2cos t sin t)^2 + (2sin t cos t)^2 = raiz1 + 4cos^2 t sin^2 t + 4sin^2 t cos^2 t = raiz1 + 8cos^2 t sin^2 t
Para simplificar, podemos usar a identidade trigonométrica sin(2t) = 2sin t cos t, então:
|v(t)| = raiz1 + 2sin^2(2t)
Agora, derivamos |v(t)| em relação a t para encontrar at:
at = ddt(raiz1 + 2sin^2(2t)) = 12raiz1 + 2sin^2(2t) cdot 4sin(2t)cos(2t) = 2sin(4t)raiz1 + 2sin^2(2t)
Agora, calculamos o módulo da aceleração |a(t)|:
|a(t)| = raiz(0)^2 + (2sin^2 t - 2cos^2 t)^2 + (2cos^2 t - 2sin^2 t)^2 = raiz0 + (2sin^2 t - 2cos^2 t)^2 + (2cos^2 t - 2sin^2 t)^2
|a(t)| = raiz2(2sin^2 t - 2cos^2 t)^2 = 2|2sin^2 t - 2cos^2 t| = 4|sin^2 t - cos^2 t|
Finalmente, a componente normal an é:
an = raiz|a(t)|^2 - at^2 = raiz16(sin^2 t - cos^2 t)^2 - (2sin(4t)raiz1 + 2sin^2(2t))^2

Resposta

Então, a velocidade da partícula é:
v(t) = i - 2cos t sin t j + 2sin t cos t k
A aceleração da partícula é:
a(t) = 2(sin^2 t - cos^2 t) j + 2(cos^2 t - sin^2 t) k
As componentes tangencial e normal do vetor aceleração são, respectivamente:
at = 2sin(4t)raiz1 + 2sin^2(2t)
an = raiz16(sin^2 t - cos^2 t)^2 - (2sin(4t)raiz1 + 2sin^2(2t))^2

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