Seja a trajetória de uma partícula em movimento definida como uma função do tempo
pelo vetor de posição
, para
. Calcule a velocidade e a aceleração num ponto qualquer dessa trajetória e determine os componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja trajetória é dada pela função vetor
, onde
. Nosso objetivo é calcular a velocidade e a aceleração em um ponto qualquer dessa trajetória e, a partir daí, determinar as componentes tangencial e normal do vetor aceleração. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
em relação a
.
A função posição é:
Derivando cada componente:
Calculando as derivadas:
Então, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Temos:
Derivando cada componente:
Calculando as derivadas:
Então, a aceleração é:
Passo 4
Agora que temos a velocidade
e a aceleração
, vamos determinar as componentes tangencial (
) e normal (
) do vetor aceleração.
A componente tangencial da aceleração é dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo e projetada na direção da velocidade:
A componente normal da aceleração é perpendicular à direção da velocidade e pode ser calculada usando a seguinte relação:
Primeiro, vamos encontrar o módulo da velocidade
:
Para simplificar, podemos usar a identidade trigonométrica
, então:
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Agora, calculamos o módulo da aceleração
:
Finalmente, a componente normal
é:
Resposta
Então, a velocidade da partícula é:
A aceleração da partícula é:
As componentes tangencial e normal do vetor aceleração são, respectivamente: