Um sistema do tipo massa-mola é impulsionado pela força externa g(t)=2 sen 3 t+10 cos 3 t. A massa é igual a 1, a constante da mola é igual a 5 e o coeficiente de amortecimento é igual a 2. Se a massa estiver localizada inicialmente em y(0)=-1, com velocidade inicial y^prime(0)=5, encontre sua equação do movimento.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema massa-mola amortecido e forçado descrito pela massa unitária, coeficiente de amortecimento 2, constante elástica 5, e força externa g(t)=2 sen 3t+10 cos 3t. Isso gera a EDO
y''+2y'+5y=2sin3t+10cos3t
Precisamos usar teoria de EDO lineares de 2ª ordem, separando em solução complementar (homogênea) e particular, e depois impor as condições iniciais y(0)=-1 e y’(0)=5.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução complementar y_c resolvendo a homogênea associada
r^2+2r+5=0
As raízes são r=-1±2i, então
yc(t)=e^-tigl(C1cos2t + C2sin2tr) 

Passo 3

Para a solução particular y_p, usamos o método dos coeficientes indeterminados com o palpite
yp(t)=Asin3t + Bcos3t
Calculamos y_p’ e y_p’’ e substituímos na EDO para achar A e B.

Passo 4

As derivadas são
yp'(t)=3Acos3t -3Bsin3t, yp''(t)=-9Asin3t -9Bcos3t
Substituindo em y’’+2y’+5y=2\sin3t+10\cos3t gera o sistema
-4A -6B = 2, 6A -4B = 10
Resolvendo, obtemos A=1 e B=-1.

Passo 5

Logo a solução geral é
y(t)=e^-tl(C1cos2t + C2sin2tr) + sin3t - cos3t
Agora impomos y(0)=-1 e y’(0)=5. De y(0) vem C_1-1=-1, logo C_1=0. Calculando y’(t) e impondo y’(0)=5, achamos C_2=1.

Passo 6

Substituindo C_1=0 e C_2=1 na geral, a solução do movimento fica
y(t)=e^-tsin2t + sin3t - cos3t

Resposta

y(t)=e^-tsin(2t)+sin(3t)-cos(3t)

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