Um sistema do tipo massa-mola é impulsionado pela força externa
. A massa é igual a 1, a constante da mola é igual a 5 e o coeficiente de amortecimento é igual a 2. Se a massa estiver localizada inicialmente em
, com velocidade inicial
, encontre sua equação do movimento.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema massa-mola amortecido e forçado descrito pela massa unitária, coeficiente de amortecimento 2, constante elástica 5, e força externa g(t)=2 sen 3t+10 cos 3t. Isso gera a EDO
Precisamos usar teoria de EDO lineares de 2ª ordem, separando em solução complementar (homogênea) e particular, e depois impor as condições iniciais y(0)=-1 e y’(0)=5.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução complementar y_c resolvendo a homogênea associada
As raízes são r=-1±2i, então
Passo 3
Para a solução particular y_p, usamos o método dos coeficientes indeterminados com o palpite
Calculamos y_p’ e y_p’’ e substituímos na EDO para achar A e B.
Passo 4
As derivadas são
Substituindo em y’’+2y’+5y=2\sin3t+10\cos3t gera o sistema
Resolvendo, obtemos A=1 e B=-1.
Passo 5
Logo a solução geral é
Agora impomos y(0)=-1 e y’(0)=5. De y(0) vem C_1-1=-1, logo C_1=0. Calculando y’(t) e impondo y’(0)=5, achamos C_2=1.
Passo 6
Substituindo C_1=0 e C_2=1 na geral, a solução do movimento fica