12{ }^{\text {a }} Questão:

Duas ondas se propagam no mesmo sentido e têm mesma amplitude, mas frequências, e números de ondas, ligeiramente diferentes, com suas funções dadas por:
\begin{gathered} y_{1}(x, t)=(0.2 \mathrm{~m}) \cos [(1822 \mathrm{rad} / \mathrm{m}) x-(680 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) t] \\\ y_{2}(x, t)=(0.2 \mathrm{~m}) \cos [(1818 \mathrm{rad} / \mathrm{m}) x-(676 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) t] \end{gathered}
(a) Escreva a expressão da onda resultante da superposição dessas duas ondas. (b) Determine as velocidades de fase \left(v_{\varphi}\right) e de grupo \left(v_{g}\right). (c) Descreva qualitativamente o movimento dessa onda.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem começar ainda a resolver.
  • O enunciado dá duas ondas que se propagam no mesmo sentido, com mesma amplitude 0,2\\ \mathrm{m} e argumentos angulares diferentes:
y_{1}(x,t)=(0,2\\ \mathrm{m})\cos\big[(1822\\ \mathrm{rad/m})\,x-(680\\ \mathrm{rad/s})\,t\big]
y_{2}(x,t)=(0,2\\ \mathrm{m})\cos\big[(1818\\ \mathrm{rad/m})\,x-(676\\ \mathrm{rad/s})\,t\big]
  • Perguntas:
    (a) Escrever a expressão da onda resultante por superposição;
    (b) Determinar as velocidades de fase v_{\varphi} e de grupo v_{g};
    (c) Descrever qualitativamente o movimento da onda resultante.

Passo 2

Vamos somar as duas ondas usando a identidade trigonométrica
\cos A + \cos B = 2\cos\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Aqui A=(k_1 x-\omega_1 t) e B=(k_2 x-\omega_2 t), com
k_1=1822\\ \mathrm{rad/m},\quad \omega_1=680\\ \mathrm{rad/s},
k_2=1818\\ \mathrm{rad/m},\quad \omega_2=676\\ \mathrm{rad/s},
e ambas amplitudes iguais a 0,2\\ \mathrm{m}.
Aplicando a identidade:
y(x,t)=y_1+y_2=(0,2)\cos A+(0,2)\cos B = (0,4)\cos\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right).

Passo 3

Calcular as médias e diferenças que aparecem nas frações:
  • média dos números de onda e das pulsacões:
k_{\mathrm{m}}=\frac{k_1+k_2}{2}=\frac{1822+1818}{2}=1820\\ \mathrm{rad/m},
\omega_{\mathrm{m}}=\frac{\omega_1+\omega_2}{2}=\frac{680+676}{2}=678\\ \mathrm{rad/s}.
  • metade da diferença (aparece em (A-B)/2):
\Delta k=\\ k_1-k_2=4\\ \mathrm{rad/m}\quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta k}{2}=2\\ \mathrm{rad/m},
\Delta \omega=\\ \omega_1-\omega_2=4\\ \mathrm{rad/s}\quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta\omega}{2}=2\\ \mathrm{rad/s}.
Substituindo em y(x,t) obtemos a forma explícita da superposição:
y(x,t)=(0,4\\ \mathrm{m})\cos\!\big[k_{\mathrm{m}}x-\omega_{\mathrm{m}}t\big]\cos\!\left(\frac{\Delta k}{2}x-\frac{\Delta\omega}{2}t\right).
Ou escrevendo com os números:
y(x,t)=(0,4\\ \mathrm{m})\cos\!\big[(1820\\ \mathrm{rad/m})\,x-(678\\ \mathrm{rad/s})\,t\big]\cos\!\big[(2\\ \mathrm{rad/m})\,x-(2\\ \mathrm{rad/s})\,t\big].

Passo 4

Explicar e calcular a velocidade de fase v_{\varphi}.
  • Conceito: a velocidade de fase é a velocidade com que os máximos/zero locais do “portador” (a oscilação rápida) se deslocam. Para uma onda simples \cos(kx-\omega t) vale
v_{\varphi}=\frac{\omega}{k}.
  • No caso da superposição, o portador tem k=k_{\mathrm{m}} e \omega=\omega_{\mathrm{m}}. Assim
v_{\varphi}=\frac{\omega_{\mathrm{m}}}{k_{\mathrm{m}}}=\frac{678}{1820}\\ \mathrm{m/s}\approx 0,373\\ \mathrm{m/s}.
(quanto maior a precisão desejada, v_{\varphi}\approx 0,372527\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 5

Explicar e calcular a velocidade de grupo v_{g}.
  • Conceito: a velocidade de grupo é a velocidade com que a envoltória (o “pacote” ou batimento) se desloca; é dada aproximadamente por v_{g}=d\omega/dk. Para duas ondas próximas pode-se aproximar por
v_{g}\approx\frac{\Delta\omega}{\Delta k}.
  • A maneira alternativa e direta de ver isso é notar que a envoltória é \cos\!\big[(\tfrac{\Delta k}{2})x-(\tfrac{\Delta\omega}{2})t\big], cuja velocidade v_{\text{env}} é
v_{\text{env}}=\frac{\tfrac{\Delta\omega}{2}}{\tfrac{\Delta k}{2}}=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}.
  • Usando os valores dados:
v_{g}=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}=\frac{4}{4}=1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Quantitativos úteis (para intuir escalas) e interpretação dos parâmetros numéricos.
  • Comprimento de onda do portador:
\lambda_{\mathrm{c}}=\frac{2\pi}{k_{\mathrm{m}}}=\frac{2\pi}{1820}\\ \mathrm{m}\approx 0,00345\\ \mathrm{m}\\ (3,45\\ \mathrm{mm}).
  • Frequência do portador:
f_{\mathrm{c}}=\frac{\omega_{\mathrm{m}}}{2\pi}=\frac{678}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx107,9\\ \mathrm{Hz}.
  • Comprimento de onda da envoltória (batimento):
\lambda_{\mathrm{env}}=\frac{2\pi}{\tfrac{\Delta k}{2}}=\frac{2\pi}{2}=\pi\\ \mathrm{m}\approx 3,1416\\ \mathrm{m}.
  • Período da envoltória:
T_{\mathrm{env}}=\frac{2\pi}{\tfrac{\Delta\omega}{2}}=\frac{2\pi}{2}=\pi\\ \mathrm{s}\approx 3,1416\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Descrição qualitativa do movimento (resumida e intuitiva, como pediram):
  • A onda resultante é uma oscilação de alta frequência (o “portador”) com amplitude modulada por uma envoltória lenta (batimento). A expressão obtida no Passo 3 mostra isso claramente:
y(x,t)=(0,4)\cos\!\big[(1820x-678t)\big]\;\times\;\cos\!\big[(2x-2t)\big].
  • O portador (oscilação interna, curtos comprimentos de onda \sim 3{,}45\\ \mathrm{mm}) se desloca com velocidade de fase v_{\varphi}\approx 0,373\\ \mathrm{m/s}.
  • A envoltória (batimento), que controla a amplitude observada em escala maior (comprimento de batimento \approx\pi\\ \mathrm{m}), desloca-se com velocidade de grupo v_{g}=1\\ \mathrm{m/s}.
  • Como v_{g}>v_{\varphi}, o pacote/envoltória avança mais rápido que as frentes de fase internas: ao observar a forma, verá “grupos” de oscilações que se movem para a direita a 1\\ \mathrm{m/s}, enquanto dentro de cada grupo as cristas individuais se deslocam para a direita mais devagar ( \approx0,373\\ \mathrm{m/s}). Esse descompasso causa a sensação de que as cristas nascem numa borda do pacote e desaparecem na outra.
  • Em pontos onde \cos\!\big[(2x-2t)\big]=0 a amplitude é nula (nós temporais/espaciais do batimento); entre esses nós a amplitude máxima é 0,4\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) y(x,t)=(0,4\\ \mathrm{m})\cos\!\big[(1820\\ \mathrm{rad/m})\,x-(678\\ \mathrm{rad/s})\,t\big]\cos\!\big[(2\\ \mathrm{rad/m})\,x-(2\\ \mathrm{rad/s})\,t\big].
(b) v_{\varphi}=\frac{\omega_{\mathrm{m}}}{k_{\mathrm{m}}}=\frac{678}{1820}\\ \mathrm{m/s}\approx 0,373\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{g}=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}=\frac{4}{4}=1\\ \mathrm{m/s}.
(c) A onda resultante é um portador de alta frequência (comprimento de onda \approx 3{,}45\\ \mathrm{mm}, frequência \approx 107{,}9\\ \mathrm{Hz}) cuja amplitude é modulada por uma envoltória lenta (comprimento de batimento \approx\pi\\ \mathrm{m}, período \approx\pi\\ \mathrm{s}). A envoltória (grupo) desloca-se para a direita a 1\\ \mathrm{m/s} enquanto as cristas internas (fase) se deslocam para a direita a \approx 0,373\\ \mathrm{m/s}.

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