Questão:
Duas ondas se propagam no mesmo sentido e têm mesma amplitude, mas frequências, e números de ondas, ligeiramente diferentes, com suas funções dadas por:
(a) Escreva a expressão da onda resultante da superposição dessas duas ondas. (b) Determine as velocidades de fase
e de grupo
. (c) Descreva qualitativamente o movimento dessa onda.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem começar ainda a resolver.
- O enunciado dá duas ondas que se propagam no mesmo sentido, com mesma amplitude
e argumentos angulares diferentes:
- Perguntas:
(a) Escrever a expressão da onda resultante por superposição;
(b) Determinar as velocidades de fasee de grupo ;
(c) Descrever qualitativamente o movimento da onda resultante.
Passo 2
Vamos somar as duas ondas usando a identidade trigonométrica
Aqui
e
, com
e ambas amplitudes iguais a
.
Aplicando a identidade:
Passo 3
Calcular as médias e diferenças que aparecem nas frações:
- média dos números de onda e das pulsacões:
- metade da diferença (aparece em
):
Substituindo em
obtemos a forma explícita da superposição:
Ou escrevendo com os números:
Passo 4
Explicar e calcular a velocidade de fase
.
- Conceito: a velocidade de fase é a velocidade com que os máximos/zero locais do “portador” (a oscilação rápida) se deslocam. Para uma onda simples
vale
- No caso da superposição, o portador tem
e . Assim
(quanto maior a precisão desejada,
.)
Passo 5
Explicar e calcular a velocidade de grupo
.
- Conceito: a velocidade de grupo é a velocidade com que a envoltória (o “pacote” ou batimento) se desloca; é dada aproximadamente por
. Para duas ondas próximas pode-se aproximar por
- A maneira alternativa e direta de ver isso é notar que a envoltória é
, cuja velocidade é
- Usando os valores dados:
Passo 6
Quantitativos úteis (para intuir escalas) e interpretação dos parâmetros numéricos.
- Comprimento de onda do portador:
- Frequência do portador:
- Comprimento de onda da envoltória (batimento):
- Período da envoltória:
Passo 7
Descrição qualitativa do movimento (resumida e intuitiva, como pediram):
- A onda resultante é uma oscilação de alta frequência (o “portador”) com amplitude modulada por uma envoltória lenta (batimento). A expressão obtida no Passo 3 mostra isso claramente:
- O portador (oscilação interna, curtos comprimentos de onda
) se desloca com velocidade de fase . - A envoltória (batimento), que controla a amplitude observada em escala maior (comprimento de batimento
), desloca-se com velocidade de grupo . - Como
, o pacote/envoltória avança mais rápido que as frentes de fase internas: ao observar a forma, verá “grupos” de oscilações que se movem para a direita a , enquanto dentro de cada grupo as cristas individuais se deslocam para a direita mais devagar ( ). Esse descompasso causa a sensação de que as cristas nascem numa borda do pacote e desaparecem na outra. - Em pontos onde
a amplitude é nula (nós temporais/espaciais do batimento); entre esses nós a amplitude máxima é .
Resposta
(a)
(b)
(c) A onda resultante é um portador de alta frequência (comprimento de onda
, frequência
) cuja amplitude é modulada por uma envoltória lenta (comprimento de batimento
, período
). A envoltória (grupo) desloca-se para a direita a
enquanto as cristas internas (fase) se deslocam para a direita a
.