Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas parciais indicadas para cada uma das funções dadas:
s=t r^2tg(u v) onde lt=x+y z^2 r=x^2+3 y z u=x z^2 v v , partial spartial x

Passo 1

Na questão, queremos calcular a derivada parcial partial spartial x usando a regra da cadeia. A função é
s = t,r^2tan(u v),
com
t = x + y z^2, r = x^2 + 3 y z, u = x z^2, v é independente de xé

Passo 2

Para resolver, vamos aplicar a regra da cadeia considerando que s depende de t,r,u,v, que por sua vez podem depender de x.
Aplicamos a regra da cadeia:
partial spartial x = partial spartial tpartial tpartial x + partial spartial rpartial rpartial x + partial spartial upartial upartial x + partial spartial vpartial vpartial x

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas de cada variável auxiliar em relação a x:
partial tpartial x = 1, partial rpartial x = 2x, partial upartial x = z^2, partial vpartial x = 0

Passo 4

Em seguida, derivamos s parcialmente em relação a cada uma das variáveis t,r,u,v. Como
s = t,r^2,tan(u v)^-1,
temos
partial spartial t = r^2tan(u v), partial spartial r = 2r,ttan(u v),
partial spartial u = -t,r^2,v,sec^2(u v)tan^2(u v), partial spartial v = -t,r^2,u,sec^2(u v)tan^2(u v)

Passo 5

Por fim, substituímos tudo na regra da cadeia e simplificamos (o termo com partial v/partial x some pois é zero):
partial spartial x = r^2tan(u v)cdot1 + 2r,ttan(u v)cdot(2x) + l(-t,r^2,v,sec^2(u v)tan^2(u v)r)cdot z^2

Resposta

partial spartial x = r^2tan(u v) + 4x,r,ttan(u v) - t,r^2,v,z^2,sec^2(u v)tan^2(u v)

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