Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas parciais indicadas para cada uma das funções dadas: onde
Passo 1
Na questão, queremos calcular a derivada parcial partial spartial x usando a regra da cadeia. A função é
s = t,r^2tan(u v),
com t = x + y z^2, r = x^2 + 3 y z, u = x z^2, v é independente de xé
Passo 2
Para resolver, vamos aplicar a regra da cadeia considerando que s depende de t,r,u,v, que por sua vez podem depender de x.
Aplicamos a regra da cadeia:
partial spartial x = partial spartial tpartial tpartial x + partial spartial rpartial rpartial x + partial spartial upartial upartial x + partial spartial vpartial vpartial x
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas de cada variável auxiliar em relação a x:
partial tpartial x = 1, partial rpartial x = 2x, partial upartial x = z^2, partial vpartial x = 0
Passo 4
Em seguida, derivamos s parcialmente em relação a cada uma das variáveis t,r,u,v. Como
s = t,r^2,tan(u v)^-1,
temos partial spartial t = r^2tan(u v), partial spartial r = 2r,ttan(u v),
partial spartial u = -t,r^2,v,sec^2(u v)tan^2(u v), partial spartial v = -t,r^2,u,sec^2(u v)tan^2(u v)
Passo 5
Por fim, substituímos tudo na regra da cadeia e simplificamos (o termo com partial v/partial x some pois é zero):