Classifique e esboce a superfície representada por cada uma das equações (são quádricas, pode ser necessário completar quadrados ou organizar a equação reduzida)
12 z=-2 y^2+4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar e esboçar a superfície quadrática dada pela equação 12z=-2y^2+4x^2. O conteúdo aqui é classificação de quadricas e precisamos reorganizar a equação em sua forma reduzida, identificando sinais e formas padrões.

Passo 2

Isolamos z: escrevendo a equação original e dividindo ambos os lados por 12, temos
z=-2y^2+4x^212
Agora separamos os termos em frações simples.

Passo 3

Simplificamos cada termo:
z=4x^212-2y^212
e reduzimos as frações:
z=x^23-y^26

Passo 4

Observamos que na forma padrão z=Ax^2+By^2 temos A=1/3>0 e B=-1/6<0. Um termo com coeficiente positivo e outro com coeficiente negativo indica um paraboloide hiperbólico.

Passo 5

Para entender o formato, olhamos nas seções:
  • Para y=0, z=tfracx^23 é um parabola voltada para cima no plano xz.
  • Para x=0, z=-tfracy^26 é uma parábola voltada para baixo no plano yz.
    Isso confirma a forma de sela (“saddle”).

Passo 6

No esboço, representamos eixos x,y,z ortogonais e desenhamos uma superfície que sobe ao longo de x e desce ao longo de y, mostrando curvas de nível hiperbólicas no plano xy.

Resposta

A superfície é um paraboloide hiperbólico, com equação reduzida z=tfracx^23-tfracy^26.

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