Seja T: C^3 longrightarrow C^3 a transformação linear definida por T(1,0,0)=(1,0, i), T(0,1,0)=(0,1,1), T(0,0,1)=(i, 1,0). Decida se T é invertível.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
,Tcolon C^3to C^3,
definida pelas imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0,0) = (1,0,i), T(0,1,0) = (0,1,1), T(0,0,1) = (i,1,0)
Queremos decidir se T é invertível, ou seja, se a matriz que a representa na base canônica tem determinante diferente de zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica cujas colunas são T(e1),T(e2),T(e3):
A = 1 & 0 & i 0 & 1 & 1 i & 1 & 0
Por critérios de álgebra linear, T é invertível se, e somente se, det A neq 0.

Passo 3

Calculamos det A por expansão na primeira linha:
det A = 1cdotdet1 & 11 & 0 - 0cdotdet0 & 1 i & 0 + icdotdet0 & 1 i & 1
Agora,
det1 & 11 & 0 =1cdot0 - 1cdot1=-1, det0 & 1 i & 1 =0cdot1 - 1cdoti=-i
Logo,
det A = 1cdot(-1) + icdot(-i) = -1 + (,-i^2) = -1 + 1 = 0

Passo 4

Como det A = 0, a matriz de T não é invertível. Logo, T falha em ser bijetora e não possui inversa linear.

Resposta

T não é invertível.

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