Seja
um operador linear tal que
é invertível para todo
.
(a) Mostre que
não possui autovalores.
(b) Dê um exemplo concreto de tal operador em um espaço vetorial real.
(a) Mostre que
(b) Dê um exemplo concreto de tal operador em um espaço vetorial real.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
(ou seja,
linear) com a propriedade: para todo
o operador
é invertível. O que nos pedem:
- (a) Mostrar que
não possui autovalores (ou seja, não existe e com ). - (b) Dar um exemplo concreto de tal operador quando o espaço vetorial é real (isto é,
).
Informações relevantes dadas:
- Para todo
, o operador linear é invertível (tem inversa linear definida em todo ). - Queremos concluir a inexistência de autovalores e construir um exemplo em espaço real.
Passo 2
Vou lembrar os conceitos essenciais (sem pular etapas):
- Definição de autovalor/autovetor:
é autovalor de se existe , , tal que
Equivalente a
ou seja,
pertence ao núcleo
e este núcleo é não trivial.
- Definição de operador invertível: um operador linear
é invertível se existe tal que . Propriedades importantes que vamos usar: - Se
é invertível então é injetivo (porque ). - Injetividade significa
. - Portanto, se
é invertível, não existe vetor não nulo com .
- Se
Essas são ferramentas diretas para ligar hipótese com a definição de autovalor.
Passo 3
Prova de (a) (resolução principal):
Suponha, por contradição, que possui um autovalor
. Então existe
,
, tal que
Suponha, por contradição, que
Isto implica
ou seja,
e o núcleo de
é não trivial. Mas isso contradiz a hipótese de que
é invertível para todo
, porque invertibilidade implica injetividade, e injetividade implica núcleo trivial. Logo a suposição está errada. Concluímos que
não pode ter autovalores: não existe
com vetor próprio não nulo.
Observação curta e intuitiva: se
fosse autovalor, então
teria um vetor não nulo no seu núcleo, logo não seria invertível — mas a hipótese diz que TODOS os
são invertíveis, impossibilidade.
Passo 4
Comentário importante (didático e prático): o enunciado assume que
é invertível para todo
. Em espaços de dimensão finita sobre um corpo algébricamente fechado (por exemplo
), isso não pode acontecer: o polinômio característico tem raiz em
, então existe
com
singular. Mas sobre
isso é possível no caso finito (por exemplo uma rotação no plano) porque os autovalores podem ser complexos não reais; então para todo
o operador
pode ser invertível. Por isso, para dar um exemplo em espaços reais não precisamos ir ao infinito — um operador em
já serve.
Passo 5
Exemplo concreto para (b) e verificação passo a passo:
Considere e o operador
dado pela matriz (na base canônica)
Considere
Este operador é a rotação de
no plano.
Verificações:
- Autovalores reais? O polinômio característico é
As raízes são
, números complexos não reais; portanto não existem autovalores em
. Logo
não possui autovalores reais.
- Invertibilidade de
para todo : como , para todo tem-se . Assim para todo , o que implica que é invertível para todo . Podemos escrever explicitamente a inversa:
verificável por multiplicação direta.
Portanto
(rotação de
) é um exemplo concreto em espaço real que satisfaz a hipótese: para todo
o operador
é invertível, e consequentemente
não tem autovalores reais.]
Resposta
(a)
não possui autovalores (nenhum
é autovalor de
).
(b) Exemplo:
com matriz
.]