Seja T \in \mathcal{L}(V) um operador linear tal que T-\lambda I é invertível para todo \lambda \in \mathbb{F}.
(a) Mostre que T não possui autovalores.
(b) Dê um exemplo concreto de tal operador em um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T\in\mathcal{L}(V) (ou seja, T:V\to V linear) com a propriedade: para todo \lambda\in\mathbb{F} o operador T-\lambda I é invertível. O que nos pedem:
  • (a) Mostrar que T não possui autovalores (ou seja, não existe \lambda\in\mathbb{F} e v\neq 0 com T v=\lambda v).
  • (b) Dar um exemplo concreto de tal operador quando o espaço vetorial é real (isto é, \mathbb{F}=\mathbb{R}).
Informações relevantes dadas:
  • Para todo \lambda\in\mathbb{F}, o operador linear (T-\lambda I) é invertível (tem inversa linear definida em todo V).
  • Queremos concluir a inexistência de autovalores e construir um exemplo em espaço real.

Passo 2

Vou lembrar os conceitos essenciais (sem pular etapas):
  • Definição de autovalor/autovetor: \lambda\in\mathbb{F} é autovalor de T se existe v\in V, v\neq 0, tal que
T v = \lambda v.
Equivalente a
(T-\lambda I)v = 0,
ou seja, v pertence ao núcleo \ker(T-\lambda I) e este núcleo é não trivial.
  • Definição de operador invertível: um operador linear S\in\mathcal{L}(V) é invertível se existe S^{-1}\in\mathcal{L}(V) tal que S^{-1}S = S S^{-1} = I. Propriedades importantes que vamos usar:
    • Se S é invertível então S é injetivo (porque Sv=0\Rightarrow v=S^{-1}0=0).
    • Injetividade significa \ker S = \{0\}.
    • Portanto, se S é invertível, não existe vetor não nulo v com Sv=0.
Essas são ferramentas diretas para ligar hipótese com a definição de autovalor.

Passo 3

Prova de (a) (resolução principal):
Suponha, por contradição, que T possui um autovalor \lambda_0\in\mathbb{F}. Então existe v\in V, v\neq 0, tal que
T v = \lambda_0 v.
Isto implica
(T-\lambda_0 I)v = 0,
ou seja, v\in\ker(T-\lambda_0 I) e o núcleo de T-\lambda_0 I é não trivial. Mas isso contradiz a hipótese de que T-\lambda I é invertível para todo \lambda, porque invertibilidade implica injetividade, e injetividade implica núcleo trivial. Logo a suposição está errada. Concluímos que T não pode ter autovalores: não existe \lambda\in\mathbb{F} com vetor próprio não nulo.
Observação curta e intuitiva: se \lambda fosse autovalor, então T-\lambda I teria um vetor não nulo no seu núcleo, logo não seria invertível — mas a hipótese diz que TODOS os T-\lambda I são invertíveis, impossibilidade.

Passo 4

Comentário importante (didático e prático): o enunciado assume que T-\lambda I é invertível para todo \lambda\in\mathbb{F}. Em espaços de dimensão finita sobre um corpo algébricamente fechado (por exemplo \mathbb{C}), isso não pode acontecer: o polinômio característico tem raiz em \mathbb{C}, então existe \lambda com T-\lambda I singular. Mas sobre \mathbb{R} isso é possível no caso finito (por exemplo uma rotação no plano) porque os autovalores podem ser complexos não reais; então para todo \lambda\in\mathbb{R} o operador T-\lambda I pode ser invertível. Por isso, para dar um exemplo em espaços reais não precisamos ir ao infinito — um operador em \mathbb{R}^2 já serve.

Passo 5

Exemplo concreto para (b) e verificação passo a passo:
Considere V=\mathbb{R}^2 e o operador T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dado pela matriz (na base canônica)
A=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Este operador é a rotação de 90^\circ no plano.
Verificações:
  1. Autovalores reais? O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & -1\\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2+1.
As raízes são \lambda=\pm i, números complexos não reais; portanto não existem autovalores em \mathbb{R}. Logo T não possui autovalores reais.
  1. Invertibilidade de A-\lambda I para todo \lambda\in\mathbb{R}: como \det(A-\lambda I)=\lambda^2+1, para todo \lambda\in\mathbb{R} tem-se \lambda^2+1>0. Assim \det(A-\lambda I)\neq 0 para todo \lambda\in\mathbb{R}, o que implica que A-\lambda I é invertível para todo \lambda\in\mathbb{R}. Podemos escrever explicitamente a inversa:
(A-\lambda I)^{-1}=\frac{1}{\lambda^2+1}\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt] -1 & -\lambda\end{pmatrix},
verificável por multiplicação direta.
Portanto A (rotação de 90^\circ) é um exemplo concreto em espaço real que satisfaz a hipótese: para todo \lambda\in\mathbb{R} o operador A-\lambda I é invertível, e consequentemente A não tem autovalores reais.]

Resposta

(a) T não possui autovalores (nenhum \lambda\in\mathbb{F} é autovalor de T).
(b) Exemplo: T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com matriz \displaystyle \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.]

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