Seja
, onde
. Suponha que
possua quatro autovalores distintos. Mostre que
admite uma base formada por autovetores de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro):
-
é um operador linear em um espaço vetorial . -
. -
possui quatro autovalores distintos; chamo-os de , todos com para .
O que se pede:
- Mostrar que
admite uma base formada por autovetores de . Em outras palavras, provar que existem quatro autovetores de que formam uma base de .
Passo 2
Primeiro, vamos fixar o significado dos termos (para não deixar nada implícito):
- Um vetor
é um autovetor de associado ao autovalor se e . - Uma família de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
- Uma base de
é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera (ou equivalentemente, em espaço de dimensão finita, um conjunto de exatamente vetores linearmente independentes é uma base).
Portanto, para provar que existe uma base de autovetores basta mostrar que existem quatro autovetores de
que são linearmente independentes (porque quatro vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão quatro formam uma base).
Passo 3
Estratégia central (teorema que vamos usar e provar): autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes. Vou provar esse fato de forma clara por indução (a demonstração é padrão e muito útil em provas).
Proposição: Se
são autovetores não nulos de
associados a autovalores distintos
(ou seja,
e
para
), então
é linearmente independente.
Prova por indução em
:
- Caso base
: trivial — um vetor não nulo é sempre linearmente independente. - Passo indutivo: suponha a proposição verdadeira para
vetores. Considere autovetores com autovalores distintos . Seja uma combinação linear
Aplicando o operador linear
a essa igualdade obtemos
ou seja, usando
,
Agora subtraímos
vezes a primeira igualdade (a combinação original) da segunda igualdade para eliminar o termo com
. Fazendo isso obtemos
Note que o coeficiente do
ficou zero. Como
para
, os fatores
são não nulos. Assim os vetores
satisfazem uma combinação linear igual a zero, e os coeficientes são
. Pela hipótese indutiva, os vetores
são linearmente independentes, então cada coeficiente deve ser zero:
Como
, segue
para
. Voltando à combinação original, obtemos
, e como
segue
. Portanto todos os
são zero e a família é linearmente independente. Isso completa a indução.
Passo 4
Agora use um fato básico de espaços de dimensão finita: se
, qualquer conjunto de quatro vetores linearmente independentes é uma base de
. Portanto, os quatro autovetores independentes obtidos no passo anterior formam uma base de
composta inteiramente por autovetores de
.
Passo 5
Resumo e comentário prático: a razão pela qual isso funciona é que autovalores distintos produzem direções eigen (autovetores) que não se misturam linearmente — a prova acima mostra precisamente isso. Em linguagem matricial, isso significa que a matriz de
na base formada por esses autovetores será diagonal (com as entradas diagonais sendo
); em outras palavras,
é diagonalizável. Fica a dica: quando você vir “n autovalores distintos” em
, a conclusão padrão é que o operador é diagonalizável e existe base de autovetores.
Resposta
Sim. Existem quatro autovetores linearmente independentes de
; como
, esses quatro autovetores formam uma base de
.