Seja T \in \mathcal{L}(V), onde \operatorname{dim} V=4. Suponha que T possua quatro autovalores distintos. Mostre que V admite uma base formada por autovetores de T.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro):
  • T\in\mathcal{L}(V) é um operador linear em um espaço vetorial V.
  • \dim V=4.
  • T possui quatro autovalores distintos; chamo-os de \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4, todos com \lambda_i\neq\lambda_j para i\neq j.
O que se pede:
  • Mostrar que V admite uma base formada por autovetores de T. Em outras palavras, provar que existem quatro autovetores de T que formam uma base de V.

Passo 2

Primeiro, vamos fixar o significado dos termos (para não deixar nada implícito):
  • Um vetor v\in V é um autovetor de T associado ao autovalor \lambda se v\neq 0 e T(v)=\lambda v.
  • Uma família de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
  • Uma base de V é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera V (ou equivalentemente, em espaço de dimensão finita, um conjunto de exatamente \dim V vetores linearmente independentes é uma base).
Portanto, para provar que existe uma base de autovetores basta mostrar que existem quatro autovetores de T que são linearmente independentes (porque quatro vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão quatro formam uma base).

Passo 3

Estratégia central (teorema que vamos usar e provar): autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes. Vou provar esse fato de forma clara por indução (a demonstração é padrão e muito útil em provas).
Proposição: Se v_1,\dots,v_m são autovetores não nulos de T associados a autovalores distintos \lambda_1,\dots,\lambda_m (ou seja, T(v_i)=\lambda_i v_i e \lambda_i\neq\lambda_j para i\neq j), então \{v_1,\dots,v_m\} é linearmente independente.
Prova por indução em m:
  • Caso base m=1: trivial — um vetor não nulo é sempre linearmente independente.
  • Passo indutivo: suponha a proposição verdadeira para m-1 vetores. Considere m autovetores v_1,\dots,v_m com autovalores distintos \lambda_1,\dots,\lambda_m. Seja uma combinação linear
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_m v_m = 0.
Aplicando o operador linear T a essa igualdade obtemos
a_1 T(v_1) + a_2 T(v_2) + \cdots + a_m T(v_m) = 0,
ou seja, usando T(v_i)=\lambda_i v_i,
a_1 \lambda_1 v_1 + a_2 \lambda_2 v_2 + \cdots + a_m \lambda_m v_m = 0.
Agora subtraímos \lambda_m vezes a primeira igualdade (a combinação original) da segunda igualdade para eliminar o termo com v_m. Fazendo isso obtemos
a_1(\lambda_1-\lambda_m)v_1 + a_2(\lambda_2-\lambda_m)v_2 + \cdots + a_{m-1}(\lambda_{m-1}-\lambda_m)v_{m-1} = 0.
Note que o coeficiente do v_m ficou zero. Como \lambda_i\neq\lambda_m para i=1,\dots,m-1, os fatores (\lambda_i-\lambda_m) são não nulos. Assim os vetores v_1,\dots,v_{m-1} satisfazem uma combinação linear igual a zero, e os coeficientes são a_i(\lambda_i-\lambda_m). Pela hipótese indutiva, os vetores v_1,\dots,v_{m-1} são linearmente independentes, então cada coeficiente deve ser zero:
a_i(\lambda_i-\lambda_m)=0\quad\text{para }i=1,\dots,m-1.
Como \lambda_i-\lambda_m\neq 0, segue a_i=0 para i=1,\dots,m-1. Voltando à combinação original, obtemos a_m v_m=0, e como v_m\neq 0 segue a_m=0. Portanto todos os a_i são zero e a família é linearmente independente. Isso completa a indução.

Passo 4

Agora use um fato básico de espaços de dimensão finita: se \dim V=4, qualquer conjunto de quatro vetores linearmente independentes é uma base de V. Portanto, os quatro autovetores independentes obtidos no passo anterior formam uma base de V composta inteiramente por autovetores de T.

Passo 5

Resumo e comentário prático: a razão pela qual isso funciona é que autovalores distintos produzem direções eigen (autovetores) que não se misturam linearmente — a prova acima mostra precisamente isso. Em linguagem matricial, isso significa que a matriz de T na base formada por esses autovetores será diagonal (com as entradas diagonais sendo \lambda_1,\dots,\lambda_4); em outras palavras, T é diagonalizável. Fica a dica: quando você vir “n autovalores distintos” em \dim n, a conclusão padrão é que o operador é diagonalizável e existe base de autovetores.

Resposta

Sim. Existem quatro autovetores linearmente independentes de T; como \dim V=4, esses quatro autovetores formam uma base de V.

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