Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) tal que
T(x, y, z)=(2 x, 2 y, 2 z)
(a) Determine todos os autovalores de T.
(b) Descreva explicitamente todos os autovetores de T.
(c) Interprete geometricamente o operador T.
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3) definido por
T(x,y,z)=(2x,2y,2z).
As perguntas são:
(a) determinar todos os autovalores de T;
(b) descrever explicitamente todos os autovetores de T;
(c) interpretar geometricamente o operador T.
Informações relevantes dadas:
A ação de T sobre um vetor (x,y,z) é simplesmente multiplicar cada coordenada por 2.
Não há outras restrições; o domínio e contradomínio são \mathbb{R}^3.
Passo 2
O que é um autovalor e um autovetor (definição e como calcular):
Dizemos que \lambda\in\mathbb{R} é um autovalor de T se existe um vetor não-nulo v\in\mathbb{R}^3 tal que
T(v)=\lambda v.
Esse vetor não-nulo v chama-se autovetor associado a \lambda.
Para encontrar autovalores de uma transformação linear representada por uma matriz A, calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0,
e resolvemos essa equação para \lambda.
Depois, para cada \lambda encontrado, a equação (A-\lambda I)v=0 determina o espaço próprio (eigenspace) associado — os autovetores são os vetores não-nulos desse espaço.
Vou aplicar essas ideias ao nosso operador.
Passo 3
Identificar a matriz de T e calcular o polinômio característico:
A transformação T multiplica cada coordenada por 2. A matriz que representa T na base canônica é
A = \begin{pmatrix}2&0&0\\[4pt]0&2&0\\[4pt]0&0&2\end{pmatrix}=2I,
Determinante de uma matriz escalar (2-\lambda)I de dimensão 3 é (2-\lambda)^3. Portanto
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^3.
As raízes desse polinômio são as soluções de (2-\lambda)^3=0, ou seja \lambda=2, com multiplicidade algébrica 3.]
Passo 4
Concluir os autovalores:
Da conta anterior, o único autovalor é \lambda=2.
Como a multiplicidade algébrica é 3, isso significa que \lambda=2 aparece três vezes no polinômio característico. (Vamos ver a multiplicidade geométrica no próximo passo.)
Passo 5
Encontrar os autovetores associados a \lambda=2:
Precisamos resolver (A-2I)v=0. Mas
A-2I = 2I-2I = 0_{3\times3},
a matriz zero.
A equação (A-2I)v=0 então é
0_{3\times3}\,v=0,
que é satisfeita por todo vetor v\in\mathbb{R}^3.
O espaço próprio (eigenspace) correspondente a \lambda=2 é, portanto, todo \mathbb{R}^3. Em particular, a multiplicidade geométrica é 3.
Lembrete importante: por definição, autovetores não podem ser o vetor zero. Logo os autovetores são exatamente todos os vetores não-nulos de \mathbb{R}^3:
\{v\in\mathbb{R}^3 \mid v\neq(0,0,0)\}.
Exemplo concreto: v=(1,0,0) é autovetor porque T(1,0,0)=(2,0,0)=2(1,0,0). O mesmo vale para qualquer v.
Passo 6
Interpretação geométrica de T:
A transformação é dada por T=2I: é a multiplicação por 2 de todos os vetores.
Geometricamente, T é uma homotetia centrada na origem com razão 2. Em palavras simples:
Cada vetor sai do mesmo ponto (origem) e aponta na mesma direção, mas seu comprimento fica duas vezes maior.
T preserva direções e ângulos entre vetores (pois é um múltiplo escalar positivo da identidade), e multiplica normas por 2: para todo v,
\|T(v)\|=\|2v\|=2\|v\|.
Retas através da origem são invariantes (cada ponto da reta é levado para outro ponto da mesma reta), planos que passam pela origem também são invariantes; esferas centradas na origem viram esferas centradas na origem com raio duplicado.
Propriedades adicionais: T é invertível, com inversa T^{-1}=(1/2)I; o determinante é \det(A)=2^3=8, o que confirma a ampliação do volume por fator 8.
Resposta
(a) \lambda=2 (multiplicidade algébrica 3).
(b) Todos os vetores não-nulos de \mathbb{R}^3, ou seja \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid (x,y,z)\neq(0,0,0)\}.
(c) T é a homotetia (dilatação) centrada na origem de razão 2: multiplica todos os vetores por 2, dobrando comprimentos e preservando direções e ângulos.