Considere
e suponha que
e
sejam autovalores distintos de
, com autovetores
e
, respectivamente. Mostre que o subespaço
é invariante por
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente para não nos perder):
-
é um operador linear em . -
e são autovalores distintos de . -
é um autovetor associado a e é um autovetor associado a . Em particular e . - Definimos o subespaço
.
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
é invariante por ; isto é, provar que para todo vale .
Passo 2
Lembrando (aula rápida e prática): o que significa "invariante por
"?
- Um subespaço
é invariante por quando, para qualquer vetor em , a imagem também pertence a .
Também vamos usar duas propriedades essenciais que já temos:
- Linearidade de
: para quaisquer escalares e vetores ,
- Definição de autovetor/autovalor: como
e são autovetores,
Passo 3
Vamos pegar um vetor arbitrário
. Por definição de span, existem escalares
tais que
A estratégia é calcular
usando a linearidade de
e as relações de autovetor acima, e ver se o resultado fica dentro de
.
Passo 4
Aplicando
ao vetor
e usando linearidade:
Agora substituímos
e
:
Passo 5
Observe que
é uma combinação linear de
e
. Logo
Como
era arbitrário, mostramos que todo vetor de
tem imagem em
. Portanto
é invariante por
.