Considere T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) e suponha que \lambda=1 e \lambda=2 sejam autovalores distintos de T, com autovetores v_{1} e v_{2}, respectivamente. Mostre que o subespaço U=\operatorname{span}\left\{v_{1}, v_{2}\right\} é invariante por T.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente para não nos perder):
  • T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3) é um operador linear em \mathbb{R}^3.
  • \lambda=1 e \lambda=2 são autovalores distintos de T.
  • v_1 é um autovetor associado a \lambda=1 e v_2 é um autovetor associado a \lambda=2. Em particular v_1\neq 0 e v_2\neq 0.
  • Definimos o subespaço U=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
O que o enunciado pede:
  • Mostrar que U é invariante por T; isto é, provar que para todo u\in U vale T(u)\in U.

Passo 2

Lembrando (aula rápida e prática): o que significa "invariante por T"?
  • Um subespaço U é invariante por T quando, para qualquer vetor u em U, a imagem T(u) também pertence a U.
    Também vamos usar duas propriedades essenciais que já temos:
  1. Linearidade de T: para quaisquer escalares a,b\in\mathbb{R} e vetores x,y\in\mathbb{R}^3,
T(a x + b y)=a\,T(x)+b\,T(y).
  1. Definição de autovetor/autovalor: como v_1 e v_2 são autovetores,
T(v_1)=1\cdot v_1=v_1,\qquad T(v_2)=2\cdot v_2=2v_2.

Passo 3

Vamos pegar um vetor arbitrário u\in U. Por definição de span, existem escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
u = a\,v_1 + b\,v_2.
A estratégia é calcular T(u) usando a linearidade de T e as relações de autovetor acima, e ver se o resultado fica dentro de \operatorname{span}\{v_1,v_2\}.

Passo 4

Aplicando T ao vetor u e usando linearidade:
T(u)=T\big(a\,v_1 + b\,v_2\big)=a\,T(v_1)+b\,T(v_2).
Agora substituímos T(v_1)=v_1 e T(v_2)=2v_2:
T(u)=a\,v_1 + b\,(2v_2)=a\,v_1 + 2b\,v_2.

Passo 5

Observe que a\,v_1 + 2b\,v_2 é uma combinação linear de v_1 e v_2. Logo
T(u)=a\,v_1 + 2b\,v_2 \in \operatorname{span}\{v_1,v_2\}=U.
Como u\in U era arbitrário, mostramos que todo vetor de U tem imagem em U. Portanto U é invariante por T.

Resposta

U=\operatorname{span}\{v_1,v_2\} é invariante por T.

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