Seja A: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R} definida por
A\left((x, y, z),\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\right)=x y_{1}+x z_{1}-y x_{1}-z y_{1}+z z_{1}.
Ache a matriz de A em relação às bases
  • canônica
  • \{(1,1,1),(1,1,0),(0,1,0)\})

Passo 1

O enunciado define uma forma bilinear
A\colon \R^3\times \R^3\to \R
por
A\bigl((x,y,z),(x_1,y_1,z_1)\bigr) = x\,y_{1}+x\,z_{1}-y\,x_{1}-z\,y_{1}+z\,z_{1},
e pede duas matrizes de representação de A:
  1. em relação à base canônica \{e_1,e_2,e_3\},
  2. em relação à base \{b_1,b_2,b_3\}=\{(1,1,1),(1,1,0),(0,1,0)\}.
    Para isso vamos primeiro achar a matriz M tal que
A(u,v)=u^{T}M\,v
na base canônica, e depois usar mudança de base para obter a segunda matriz.

Passo 2

Para a base canônica, os vetores são \displaystyle e_1=(1,0,0), \displaystyle e_2=(0,1,0) e \displaystyle e_3=(0,0,1).
A entrada M_{ij} vem de
M_{ij}=A(e_i,e_j).
Calculando todos os pares:
\begin{aligned} A(e_1,e_1)&=0, & A(e_1,e_2)&=1, & A(e_1,e_3)&=1,\\\ A(e_2,e_1)&=-1,& A(e_2,e_2)&=0, & A(e_2,e_3)&=0,\\\ A(e_3,e_1)&=0, & A(e_3,e_2)&=-1,& A(e_3,e_3)&=1. \end{aligned}
Logo, em bloco:
M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ -1& 0 & 0\\\\ 0 & -1& 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora definimos a nova base \displaystyle b_1=(1,1,1),\,b_2=(1,1,0),\,b_3=(0,1,0).
A matriz de mudança de coordenadas de \{b_i\} para a canônica é
P = \bigl[\,b_1\;b_2\;b_3\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Quando mudamos de base para uma forma bilinear, a nova matriz é
M' = P^{T}\,M\,P.

Passo 4

Primeiro computamos M\,P. Chamando P=[p_1\;p_2\;p_3],
M\,p_1 = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\quad M\,p_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix},\quad M\,p_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},
logo
M\,P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ -1&-1 & 0\\\\ 0 & -1&-1 \end{pmatrix}.
Em seguida
M' = P^{T}(M\,P) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ -1&-1 & 0\\\\ 0 & -1&-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ -1& -1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

Matriz na base canônica:
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ -1& 0 & 0\\\\ 0 & -1& 1 \end{pmatrix}.
Matriz na base \{(1,1,1),(1,1,0),(0,1,0)\}:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ -1& -1 & 0 \end{pmatrix}.

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