Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma reflexão no espaço. Encontre a imagem, isto é, o vetor \vec{w} tal que \vec{w}=T(\vec{v}) do vetor \vec{u}=(2,-5,3) em torno:
do plano x O y

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que é uma reflexão no espaço e pede a imagem do vetor \vec{u}=(2,-5,3) pela reflexão em torno do plano xOy (ou seja, do plano \;z=0).\n
Informações relevantes:
\; \vec{u}=(2,-5,3).\n
Pergunta: encontrar \vec{w}=T(\vec{u}), a reflexão de \vec{u} pelo plano xOy.

Passo 2

Vou explicar o que significa refletir em torno de um plano que passa pela origem (como o plano xOy).\n
Intuição geométrica: refletir um ponto/vetor num plano que passa pela origem é manter a componente paralela ao plano igual e inverter a componente perpendicular ao plano. Isso preserva a distância ao plano e “espelha” o vetor atravessando o plano.\n
Matematicamente, se n é um vetor normal unitário ao plano, a reflexão T aplicada a um vetor v é dada pela fórmula:
T(v)=v-2(v\cdot n)\,n.
Aqui v\cdot n é o produto escalar entre v e n, e (v\cdot n)n é a projeção de v na direção normal. Subtraindo 2(v\cdot n)n invertemos a componente normal e deixamos a componente paralela inalterada. Vou mostrar passo a passo como usar essa fórmula.

Passo 3

Identificar a normal unitária do plano xOy.\n
O plano xOy é o plano \;z=0. Um vetor normal a esse plano é (0,0,1). Esse vetor já tem norma 1, então ele já é uma normal unitária. Logo podemos tomar
n=(0,0,1).

Passo 4

Calcular o produto escalar (\vec{u}\cdot n).\n
Pelo produto escalar em \mathbb{R}^3,
\vec{u}\cdot n = (2,-5,3)\cdot(0,0,1)=2\cdot 0 + (-5)\cdot 0 + 3\cdot 1 = 3.

Passo 5

Aplicar a fórmula da reflexão \;T(v)=v-2(v\cdot n)n.\n
Substituindo v=\vec{u}, n=(0,0,1) e \vec{u}\cdot n=3, obtemos
\vec{w}=T(\vec{u})=\vec{u}-2(\vec{u}\cdot n)\,n=(2,-5,3)-2\cdot 3\,(0,0,1).
Calculemos o termo 2\cdot 3\,(0,0,1):
2\cdot 3\,(0,0,1)=(0,0,6).
Então
\vec{w}=(2,-5,3)-(0,0,6)=(2,-5,3-6)=(2,-5,-3).

Passo 6

Interpretação simples e checagem: refletir no plano xOy equivale a manter as coordenadas x e y e trocar o sinal da coordenada z. Aplicando isso diretamente em \vec{u}=(2,-5,3) (2,-5,-3), que coincide com o resultado acima. Isso confirma que a reflexão está correta.

Resposta

\vec{w}=(2,-5,-3)

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