Seja
uma reflexão no espaço. Encontre a imagem, isto é, o vetor
tal que
do vetor
em torno:
do plano
do plano
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
que é uma reflexão no espaço e pede a imagem do vetor
pela reflexão em torno do plano
(ou seja, do plano
).\n
Informações relevantes:
.\n
Pergunta: encontrar , a reflexão de
pelo plano
.
Informações relevantes:
Pergunta: encontrar
Passo 2
Vou explicar o que significa refletir em torno de um plano que passa pela origem (como o plano
).\n
Intuição geométrica: refletir um ponto/vetor num plano que passa pela origem é manter a componente paralela ao plano igual e inverter a componente perpendicular ao plano. Isso preserva a distância ao plano e “espelha” o vetor atravessando o plano.\n
Matematicamente, se é um vetor normal unitário ao plano, a reflexão
aplicada a um vetor
é dada pela fórmula:
Intuição geométrica: refletir um ponto/vetor num plano que passa pela origem é manter a componente paralela ao plano igual e inverter a componente perpendicular ao plano. Isso preserva a distância ao plano e “espelha” o vetor atravessando o plano.\n
Matematicamente, se
Aqui
é o produto escalar entre
e
, e
é a projeção de
na direção normal. Subtraindo
invertemos a componente normal e deixamos a componente paralela inalterada. Vou mostrar passo a passo como usar essa fórmula.
Passo 3
Identificar a normal unitária do plano
.\n
O plano é o plano
. Um vetor normal a esse plano é
. Esse vetor já tem norma
, então ele já é uma normal unitária. Logo podemos tomar
O plano
Passo 4
Calcular o produto escalar
.\n
Pelo produto escalar em ,
Pelo produto escalar em
Passo 5
Aplicar a fórmula da reflexão
.\n
Substituindo ,
e
, obtemos
Substituindo
Calculemos o termo
:
Então
Passo 6
Interpretação simples e checagem: refletir no plano
equivale a manter as coordenadas
e
e trocar o sinal da coordenada
. Aplicando isso diretamente em
dá
, que coincide com o resultado acima. Isso confirma que a reflexão está correta.