Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} uma reflexão no plano. Encontre a imagem, isto é, o vetor \vec{w} tal que \vec{w}=T(\vec{v}) do vetor \vec{u}=(-1,2) em torno:
do eixo y
Represente graficamente \vec{u} e os vetores refletidos \vec{w}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a imagem (vetor \vec{w}=T(\vec{v})) do vetor \vec{u}=(-1,2) pela reflexão T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 em torno do eixo y.\n
Informações dadas:
\vec{u} = (-1,2).
A reflexão é feita em torno do eixo y (ou seja, o eixo vertical do plano cartesiano). O objetivo adicional é representar graficamente \vec{u} e o vetor refletido \vec{w}.

Passo 2

Entendendo o que significa refletir em torno do eixo y:\n
Quando refletimos um ponto ou vetor em relação ao eixo y, a coordenada x muda de sinal e a coordenada y permanece igual. Em termos de função que age sobre coordenadas,
(x,y)\mapsto(-x,y).
Isso significa que a reflexão é um operador linear que age sobre vetores por uma matriz muito simples. Vou escrever essa matriz para você entender claramente.

Passo 3

Matriz da reflexão no eixo y:\n
A matriz que aplica (x,y)\mapsto(-x,y) é
A=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Explicação da matriz: a primeira linha (-1\;0) diz que a nova coordenada x' é -1 vez a antiga x mais 0 vezes y, ou seja x'=-x. A segunda linha (0\;1) diz que y'=y. Essa matriz representa exatamente a reflexão em torno do eixo y.]

Passo 4

Aplicando a transformação ao vetor \vec{u}:\n
Escrevemos \vec{u} como coluna:
\vec{u}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Multiplicamos A por \vec{u}:
\vec{w}=A\vec{u}= \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação linha a linha:
\text{primeira componente: } -1\cdot(-1)+0\cdot 2 = 1,
\text{segunda componente: } 0\cdot(-1)+1\cdot 2 = 2.
Portanto
\vec{w}=(1,2).]

Passo 5

Verificações e interpretação geométrica (úteis para a prova):\n
  1. Conservação do comprimento: o comprimento (norma) de \vec{u} é
\|\vec{u}\|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
A norma de \vec{w} é
\|\vec{w}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.
Logo a reflexão preserva comprimento (é uma isometria).\n
2) Simetria em relação ao eixo y: o ponto médio entre \vec{u} e \vec{w} é
\left(\frac{-1+1}{2},\frac{2+2}{2}\right)=(0,2),
que pertence ao eixo y. O segmento que une \vec{u} e \vec{w} é horizontal e é perpendicar ao eixo y, como esperado numa reflexão.

Passo 6

Como representar graficamente (passo a passo para você desenhar rápido na prova ou no caderno):\n
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a origem O=(0,0).\n
  2. Marque o ponto correspondente a \vec{u} em (-1,2): vá uma unidade para a esquerda (em x) e duas para cima (em y). Desenhe a seta do ponto O até (-1,2) e rotule como \vec{u}.\n
  3. Marque o ponto correspondente a \vec{w} em (1,2): uma unidade para a direita e duas para cima. Desenhe a seta do O até (1,2) e rotule como \vec{w}.\n
  4. Trace o eixo y visivelmente (linha vertical x=0). Você pode desenhar o segmento que une (-1,2) a (1,2) e notar que seu ponto médio é (0,2) que está sobre o eixo y.\n
    Dica visual rápida (ASCII bem simplificado, só para intuir):\n
    y\n
    ↑\n
    3 | •(1,2) = \vec{w}\n
    2 | •(-1,2) = \vec{u} •(1,2) = \vec{w}\n
    1 |\n
    0 ±—±---→ x\n
    -1 0 1\n
    (Essa é só uma ideia; na prova desenhe com eixos e pontos mais claros.)\n
    Você conseguiu o resultado: a reflexão trocou o sinal da coordenada x de -1 para 1, mantendo y=2. Vai dar certo na prova — lembra que, sempre que for reflexionar em torno de um eixo coordenado, basta trocar o sinal da coordenada perpendicular a esse eixo.

Resposta

\vec{w}=(1,2)

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