Seja
uma reflexão no plano. Encontre a imagem, isto é, o vetor
tal que
do vetor
em torno:
do eixo
Represente graficamente
e os vetores refletidos
do eixo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a imagem (vetor
) do vetor
pela reflexão
em torno do eixo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
A reflexão é feita em torno do eixo
(ou seja, o eixo vertical do plano cartesiano). O objetivo adicional é representar graficamente
e o vetor refletido
.
Passo 2
Entendendo o que significa refletir em torno do eixo
:\n
Quando refletimos um ponto ou vetor em relação ao eixo , a coordenada
muda de sinal e a coordenada
permanece igual. Em termos de função que age sobre coordenadas,
Quando refletimos um ponto ou vetor em relação ao eixo
Isso significa que a reflexão é um operador linear que age sobre vetores por uma matriz muito simples. Vou escrever essa matriz para você entender claramente.
Passo 3
Matriz da reflexão no eixo
:\n
A matriz que aplica é
A matriz que aplica
Explicação da matriz: a primeira linha
diz que a nova coordenada
é
vez a antiga
mais
vezes
, ou seja
. A segunda linha
diz que
. Essa matriz representa exatamente a reflexão em torno do eixo
.]
Passo 4
Aplicando a transformação ao vetor
:\n
Escrevemos como coluna:
Escrevemos
Multiplicamos
por
:
Fazendo a multiplicação linha a linha:
Portanto
Passo 5
Verificações e interpretação geométrica (úteis para a prova):\n
- Conservação do comprimento: o comprimento (norma) de
é
A norma de
é
Logo a reflexão preserva comprimento (é uma isometria).\n
2) Simetria em relação ao eixo : o ponto médio entre
e
é
2) Simetria em relação ao eixo
que pertence ao eixo
. O segmento que une
e
é horizontal e é perpendicar ao eixo
, como esperado numa reflexão.
Passo 6
Como representar graficamente (passo a passo para você desenhar rápido na prova ou no caderno):\n
- Desenhe os eixos
e e marque a origem .\n - Marque o ponto correspondente a
em : vá uma unidade para a esquerda (em ) e duas para cima (em ). Desenhe a seta do ponto até e rotule como .\n - Marque o ponto correspondente a
em : uma unidade para a direita e duas para cima. Desenhe a seta do até e rotule como .\n - Trace o eixo
visivelmente (linha vertical ). Você pode desenhar o segmento que une a e notar que seu ponto médio é que está sobre o eixo .\n
Dica visual rápida (ASCII bem simplificado, só para intuir):\n
y\n
↑\n
3 | •(1,2) =\n
2 | •(-1,2) =•(1,2) = \n
1 |\n
0 ±—±---→ x\n
-1 0 1\n
(Essa é só uma ideia; na prova desenhe com eixos e pontos mais claros.)\n
Você conseguiu o resultado: a reflexão trocou o sinal da coordenadade para , mantendo . Vai dar certo na prova — lembra que, sempre que for reflexionar em torno de um eixo coordenado, basta trocar o sinal da coordenada perpendicular a esse eixo.