Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} uma reflexão no plano. Encontre a imagem, isto é, o vetor \vec{w} tal que \vec{w}=T(\vec{v}) do vetor \vec{u}=(-1,2) em torno:
do eixo x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a imagem (isto é, o vetor \vec{w} tal que \vec{w}=T(\vec{v})) do vetor dado \vec{u}=(-1,2) pela reflexão T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 em torno do eixo x. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\vec{u}=(-1,2).
A transformação T é a reflexão no plano em torno do eixo x.
A pergunta concreta: calcular \vec{w}=T(\vec{u}).

Passo 2

Intuição geométrica (o que significa refletir em torno do eixo x): ao refletir um ponto no eixo x, a coordenada x não muda e a coordenada y troca de sinal. Em outras palavras, a reflexão no eixo x envia cada ponto (x,y) para o ponto (x,-y). Vou explicar isso de um jeito simples: o eixo x é a “reta-mirroredora” — um ponto acima do eixo é levado à mesma distância abaixo do eixo, mantendo a mesma abscissa.

Passo 3

Raciocínio usando a base canônica (forma algébrica): tome os vetores da base padrão
\vec{e}_1=(1,0) e \vec{e}_2=(0,1).
  • Qual é T(\vec{e}_1)? O vetor \vec{e}_1 está sobre o eixo x, portanto não se altera pela reflexão. Logo T(\vec{e}_1)=\vec{e}_1=(1,0).
  • Qual é T(\vec{e}_2)? O vetor \vec{e}_2 aponta para cima ao longo do eixo y; refletindo no eixo x ele aponta para baixo, ou seja T(\vec{e}_2)=(0,-1)=-\vec{e}_2.

Passo 4

A partir de T(\vec{e}_1) e T(\vec{e}_2) podemos escrever a matriz da transformação linear T relativa à base canônica. As colunas da matriz são as imagens dos vetores da base:
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Isto significa que, para qualquer vetor (x,y),
T\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\[2pt] -y\end{pmatrix},
o que confirma a regra geométrica que disse antes.]

Passo 5

Agora aplico a matriz A ao vetor dado \vec{u}. Primeiro escrevo \vec{u} em coluna:
\vec{u}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt] 2\end{pmatrix}.
Multiplicando A por \vec{u} passo a passo:
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\[2pt] 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-1) + 0\cdot 2 \\[6pt] 0\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\[4pt] -2 \end{pmatrix}.
Expliquei cada produto e soma para que você consiga repetir isso na prova sem pular passos.]

Passo 6

Verificação rápida pela regra geométrica: aplicar a regra "manter x, trocar sinal de y" em \vec{u}=(-1,2) (-1,-2), que coincide com o resultado algébrico acima. Também é bom observar que a reflexão preserva norma (distância à origem): \|\vec{u}\|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5} e \|T(\vec{u})\|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{5}, então faz sentido geometricamente.

Resposta

\vec{w}=(-1,-2)

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