Seja
uma reflexão no plano. Encontre a imagem, isto é, o vetor
tal que
do vetor
em torno:
do eixo
do eixo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a imagem (isto é, o vetor
tal que
) do vetor dado
pela reflexão
em torno do eixo
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
.
A transformação é a reflexão no plano em torno do eixo
.
A pergunta concreta: calcular .
A transformação
A pergunta concreta: calcular
Passo 2
Intuição geométrica (o que significa refletir em torno do eixo
): ao refletir um ponto no eixo
, a coordenada
não muda e a coordenada
troca de sinal. Em outras palavras, a reflexão no eixo
envia cada ponto
para o ponto
. Vou explicar isso de um jeito simples: o eixo
é a “reta-mirroredora” — um ponto acima do eixo é levado à mesma distância abaixo do eixo, mantendo a mesma abscissa.
Passo 3
Raciocínio usando a base canônica (forma algébrica): tome os vetores da base padrão
e
.
- Qual é
? O vetor está sobre o eixo , portanto não se altera pela reflexão. Logo . - Qual é
? O vetor aponta para cima ao longo do eixo ; refletindo no eixo ele aponta para baixo, ou seja .
Passo 4
A partir de
e
podemos escrever a matriz da transformação linear
relativa à base canônica. As colunas da matriz são as imagens dos vetores da base:
Isto significa que, para qualquer vetor
,
o que confirma a regra geométrica que disse antes.]
Passo 5
Agora aplico a matriz
ao vetor dado
. Primeiro escrevo
em coluna:
Multiplicando
por
passo a passo:
Expliquei cada produto e soma para que você consiga repetir isso na prova sem pular passos.]
Passo 6
Verificação rápida pela regra geométrica: aplicar a regra "manter
, trocar sinal de
" em
dá
, que coincide com o resultado algébrico acima. Também é bom observar que a reflexão preserva norma (distância à origem):
e
, então faz sentido geometricamente.