A pergunta concreta: “É (T] uma transformação linear?” (responda sim ou não, justificando).]
Passo 2
O que significa “transformação linear”? Vou explicar com calma. Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar c:
\text{(Aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(Homogeneidade)}\qquad T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui u+v é a soma de vetores em \mathbb{R}^{3} e c\,u é a multiplicação do vetor por escalar. Se as duas propriedades valem, T é linear. Vou checar essas propriedades diretamente.
Passo 3
Vamos representar dois vetores genéricos de \mathbb{R}^{3} por
e um escalar arbitrário por c\in\mathbb{R}. Aqui x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2} são números reais quaisquer. A estratégia: calcular T(u+v) e T(u)+T(v) e comparar; depois calcular T(c\,u) e c\,T(u) e comparar.
Comentário adicional (útil para a prova): toda transformação definida por multiplicação por uma matriz fixa é linear. Podemos escrever T como multiplicação por uma matriz A de tamanho 2\times 3. Observando as fórmulas das componentes, obtemos
A\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x-y+z\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y -4\cdot z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x-y+z\\[4pt] y-4z\end{pmatrix}=T(x,y,z).
Como T pode ser escrita na forma T(v)=A v com matriz fixa A, isso confirma mais uma vez que T é linear.]
Passo 7
Conclusão final: verificámos explicitamente as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) e mostramos a representação matricial. Portanto T é linear.