Verificar se as transformações dadas são lineares:
T: \Re^{3} \rightarrow \Re^{2} ; T(x, y, z)=(2 x-y+z, y-4 z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}\) dada por \[T(x,y,z) = (\,2x - y + z,\; y - 4z\,)
é linear. Informações fornecidas:
\begin{cases} \text{domínio: } \mathbb{R}^{3},\\[4pt] \text{contradomínio: } \mathbb{R}^{2},\\[4pt] \text{regra: } (x,y,z)\mapsto(2x-y+z,\;y-4z). \end{cases}íí
A pergunta concreta: “É (T] uma transformação linear?” (responda sim ou não, justificando).]

Passo 2

O que significa “transformação linear”? Vou explicar com calma. Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar c:
\text{(Aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(Homogeneidade)}\qquad T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui u+v é a soma de vetores em \mathbb{R}^{3} e c\,u é a multiplicação do vetor por escalar. Se as duas propriedades valem, T é linear. Vou checar essas propriedades diretamente.

Passo 3

Vamos representar dois vetores genéricos de \mathbb{R}^{3} por
u=(x_{1},y_{1},z_{1}),\qquad v=(x_{2},y_{2},z_{2}),
e um escalar arbitrário por c\in\mathbb{R}. Aqui x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2} são números reais quaisquer. A estratégia: calcular T(u+v) e T(u)+T(v) e comparar; depois calcular T(c\,u) e c\,T(u) e comparar.

Passo 4

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_{1}+x_{2},\;y_{1}+y_{2},\;z_{1}+z_{2}).
Agora aplique T a u+v:
T(u+v)=\bigl(\,2(x_{1}+x_{2})-(y_{1}+y_{2})+(z_{1}+z_{2}),\; (y_{1}+y_{2})-4(z_{1}+z_{2})\,\bigr).
Distribuindo os parênteses (passo a passo, sem pular):
\begin{aligned} \text{1ª componente: }& 2(x_{1}+x_{2})-(y_{1}+y_{2})+(z_{1}+z_{2})\\\ &= (2x_{1}-y_{1}+z_{1}) + (2x_{2}-y_{2}+z_{2}). \end{aligned}ª
\begin{aligned} \text{2ª componente: }& (y_{1}+y_{2})-4(z_{1}+z_{2})\\\ &= (y_{1}-4z_{1}) + (y_{2}-4z_{2}). \end{aligned}ª
Portanto
T(u+v)=\bigl(\,2x_{1}-y_{1}+z_{1},\;y_{1}-4z_{1}\,\bigr)+\bigl(\,2x_{2}-y_{2}+z_{2},\;y_{2}-4z_{2}\,\bigr).
Mas os somandos à direita são exatamente T(u) e T(v), porque
T(u)=(2x_{1}-y_{1}+z_{1},\;y_{1}-4z_{1}),\qquad T(v)=(2x_{2}-y_{2}+z_{2},\;y_{2}-4z_{2}).
Logo concluímos
T(u+v)=T(u)+T(v).
A aditividade vale.

Passo 5

Verificação da homogeneidade T(c\,u)=c\,T(u).
Calcule c\,u:
c\,u=(c x_{1},\;c y_{1},\;c z_{1}).
Aplique T a c\,u:
T(c\,u)=\bigl(\,2(c x_{1})-(c y_{1})+(c z_{1}),\; (c y_{1})-4(c z_{1})\,\bigr).
Fatorando o escalar c em cada componente:
\begin{aligned} \text{1ª componente: }& 2c x_{1}-c y_{1}+c z_{1}=c(2x_{1}-y_{1}+z_{1}),\\[4pt] \text{2ª componente: }& c y_{1}-4c z_{1}=c(y_{1}-4z_{1}). \end{aligned}ªª
Portanto
T(c\,u)=c\bigl(\,2x_{1}-y_{1}+z_{1},\;y_{1}-4z_{1}\,\bigr)=c\,T(u).
A homogeneidade vale também.]

Passo 6

Comentário adicional (útil para a prova): toda transformação definida por multiplicação por uma matriz fixa é linear. Podemos escrever T como multiplicação por uma matriz A de tamanho 2\times 3. Observando as fórmulas das componentes, obtemos
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -4\end{pmatrix},
pois
A\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x-y+z\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y -4\cdot z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x-y+z\\[4pt] y-4z\end{pmatrix}=T(x,y,z).
Como T pode ser escrita na forma T(v)=A v com matriz fixa A, isso confirma mais uma vez que T é linear.]

Passo 7

Conclusão final: verificámos explicitamente as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) e mostramos a representação matricial. Portanto T é linear.

Resposta

Sim, T é linear.

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