Verificar se as transformações dadas são lineares:
T: \Re^{2} \rightarrow \Re^{2} ; T(x, y)=(x+2 y, 3 x-y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(x+2y,\;3x-y).
O que nos pedem: verificar se T é linear, ou seja, decidir se T satisfaz as propriedades necessárias para ser uma transformação linear. Informações relevantes fornecidas:
\text{domínio: }\mathbb{R}^2,\qquad \text{contradomínio: }\mathbb{R}^2,íí
e a regra explícita que dá a imagem de qualquer vetor (x,y) por T: a primeira componente é x+2y e a segunda é 3x-y.

Passo 2

Definição e estratégia: uma transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear se, para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(aditividade)}\qquad T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}),
\text{(homogeneidade)}\qquad T(c\mathbf{u})=c\,T(\mathbf{u}).
Vou verificar explicitamente essas duas propriedades. Como atalho (e como aula rápida), se conseguirmos escrever T como multiplicação por uma matriz A, isto é,
T(\mathbf{x})=A\mathbf{x},
então T é automaticamente linear porque multiplicação por matriz obedece aditividade e homogeneidade. Mais adiante eu mostro essa matriz.

Passo 3

Verificação da aditividade. Tome \mathbf{u}=(x_1,y_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2) vetores arbitrários em \mathbb{R}^2. Primeiro calcule \mathbf{u}+\mathbf{v}:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Agora aplique T a \mathbf{u}+\mathbf{v}:
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\bigl((x_1+x_2)+2(y_1+y_2),\;3(x_1+x_2)-(y_1+y_2)\bigr).
Desenvolvendo os parênteses:
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\bigl(x_1+x_2+2y_1+2y_2,\;3x_1+3x_2-y_1-y_2\bigr).
Agora calcule T(\mathbf{u}) e T(\mathbf{v}) separadamente:
T(\mathbf{u})=(x_1+2y_1,\;3x_1-y_1),\qquad T(\mathbf{v})=(x_2+2y_2,\;3x_2-y_2).
Somando T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) obtemos
T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})=\bigl((x_1+2y_1)+(x_2+2y_2),\;(3x_1-y_1)+(3x_2-y_2)\bigr).
Simplificando:
T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})=\bigl(x_1+x_2+2y_1+2y_2,\;3x_1+3x_2-y_1-y_2\bigr).
Comparando com a expressão encontrada para T(\mathbf{u}+\mathbf{v}), vemos que as duas são idênticas. Portanto a propriedade de aditividade vale:
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})\quad\text{para todo }\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^2.

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Tome um escalar arbitrário c\in\mathbb{R} e um vetor \mathbf{u}=(x,y). Primeiro calcule c\mathbf{u}:
c\mathbf{u}=(cx,\;cy).
Aplique T a c\mathbf{u}:
T(c\mathbf{u})=(cx+2(cy),\;3(cx)-cy).
Fatorando c nas componentes:
T(c\mathbf{u})=(c(x+2y),\;c(3x-y))=c\,(x+2y,\;3x-y).
Mas (x+2y,\;3x-y)=T(\mathbf{u}). Logo
T(c\mathbf{u})=c\,T(\mathbf{u})
para todo escalar c e todo vetor \mathbf{u}. A homogeneidade está verificada.

Passo 5

Conclusão e interpretação matricial. Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores arbitrários e escalares arbitrários, T é uma transformação linear.
Além disso, podemos escrever T como multiplicação por uma matriz. Observando as fórmulas das componentes, a matriz associada é
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix},
e para \mathbf{x}=(x,y) temos
T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.
Multiplicação por matriz preserva soma e multiplicação por escalar, o que confirma de maneira alternativa que T é linear.]

Resposta

Sim, T é linear.

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