Verificar se as transformações dadas são lineares:
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
O que nos pedem: verificar se
é linear, ou seja, decidir se
satisfaz as propriedades necessárias para ser uma transformação linear. Informações relevantes fornecidas:
e a regra explícita que dá a imagem de qualquer vetor
por
: a primeira componente é
e a segunda é
.
Passo 2
Definição e estratégia: uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Vou verificar explicitamente essas duas propriedades. Como atalho (e como aula rápida), se conseguirmos escrever
como multiplicação por uma matriz
, isto é,
então
é automaticamente linear porque multiplicação por matriz obedece aditividade e homogeneidade. Mais adiante eu mostro essa matriz.
Passo 3
Verificação da aditividade. Tome
e
vetores arbitrários em
. Primeiro calcule
:
Agora aplique
a
:
Desenvolvendo os parênteses:
Agora calcule
e
separadamente:
Somando
obtemos
Simplificando:
Comparando com a expressão encontrada para
, vemos que as duas são idênticas. Portanto a propriedade de aditividade vale:
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Tome um escalar arbitrário
e um vetor
. Primeiro calcule
:
Aplique
a
:
Fatorando
nas componentes:
Mas
. Logo
para todo escalar
e todo vetor
. A homogeneidade está verificada.
Passo 5
Conclusão e interpretação matricial. Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores arbitrários e escalares arbitrários,
é uma transformação linear.
Além disso, podemos escrever
como multiplicação por uma matriz. Observando as fórmulas das componentes, a matriz associada é
e para
temos
Multiplicação por matriz preserva soma e multiplicação por escalar, o que confirma de maneira alternativa que
é linear.]
Resposta
Sim,
é linear.