1. Seja f(x)=\|x\|^{4}, x \in \mathbb{R}^{n}.
    (a) Determine D_{v} f(x) para x, v \in \mathbb{R}^{n}.
    (b) Para n=2 determine todos a, b, tais que D_{(a, b)} f(2,3)=6.
    (c) Para n=3 determine todos a, b, c, tais que D_{(a, b, c)} f(1,2,3)=0.

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} por
f(x)=\|x\|^4=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^2
e pede:
(a) a derivada direcional D_vf(x);
(b) em n=2, todos os (a,b) tais que D_{(a,b)}f(2,3)=6;
(c) em n=3, todos os (a,b,c) tais que D_{(a,b,c)}f(1,2,3)=0.
Vamos usar o fato de que f é diferenciável e que
D_vf(x)=\nabla f(x)\cdot v.

Passo 2

Calculamos primeiro o gradiente de f. Como f(x)=(x\cdot x)^2, vale
\nabla f(x) =2\,(x\cdot x)\,\nabla(x\cdot x) =2\|x\|^2\cdot(2x) =4\,\|x\|^2\,x.
Portanto, a derivada direcional em x na direção v é
D_vf(x) =\nabla f(x)\cdot v =4\,\|x\|^2\,(x\cdot v).

Passo 3

Para n=2 e x=(2,3) temos \|x\|^2=2^2+3^2=13. Então
D_{(a,b)}f(2,3) =4\cdot13\bigl((2,3)\cdot(a,b)\bigr) =52\,(2a+3b).
Impondo D_{(a,b)}f(2,3)=6
52\,(2a+3b)=6 \quad\Longrightarrow\quad 2a+3b=\frac{6}{52}=\frac{3}{26}.

Passo 4

Para n=3 e x=(1,2,3) temos \|x\|^2=1^2+2^2+3^2=14. Logo
D_{(a,b,c)}f(1,2,3) =4\cdot14\bigl((1,2,3)\cdot(a,b,c)\bigr) =56\,(a+2b+3c).
Para que isso seja zero basta
a+2b+3c=0.

Resposta

(a) D_vf(x)=4\,\|x\|^2\,(x\cdot v).
(b) Todos os (a,b) tais que 2a+3b=\tfrac{3}{26}.
(c) Todos os (a,b,c) tais que a+2b+3c=0..

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