Seja
uma aplicação linear diagonalizável com único autovalor igual a 2 . Então:
(a)
(b)
(c)
não é diagonalizável
(d)
é nilpotente
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que avaliemos as alternativas:
- Foi dada uma aplicação linear
. - Sabe-se que
é diagonalizável. - Sabe-se que o único autovalor de
é .
As perguntas implícitas: quais das alternativas (a)–(e) são verdadeiras dadas essas informações?
Passo 2
Entender o que significa ser diagonalizável (passo-a-passo, sem pressupor conhecimento prévio):
- Uma aplicação linear
em um espaço de dimensão é dita diagonalizável se existe uma base de formada por autovetores de . - Isso equivale a existir uma matriz invertível
tal que, na base canônica, a matriz de satisfaça , onde é uma matriz diagonal. Aqui é a matriz de . - As entradas da diagonal de
são autovalores de , possivelmente repetidos conforme as multiplicidades algébricas.
Vou explicar uma consequência prática: se temos uma base formada por autovetores
com
, então, para qualquer vetor
,
Se todos os
forem iguais a um mesmo número
, então
para todo
, isto é,
.
Passo 3
Aplicando a informação de que o único autovalor é
:
- Como o espaço tem dimensão
, o polinômio característico de tem grau . Se o único autovalor é , então o polinômio característico é , ou seja, a multiplicidade algébrica de é . - Como
é diagonalizável, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio correspondente ao autovalor) coincide com a multiplicidade algébrica para cada autovalor. Logo, a dimensão do espaço próprio associado a é .
Passo 4
Conclusão imediata a partir do passo anterior:
- Ter dimensão do espaço próprio igual a
significa que há três autovetores linearmente independentes associados ao autovalor ; esses três autovetores formam uma base de . - Usando a observação do Passo 2: com essa base de autovetores e todos os autovalores iguais a
, para todo vale . - Portanto, como operador linear,
, onde é a identidade em .
Uma maneira matricial curta de ver isso: se
e todas as entradas de
são
, então
e
Passo 5
Agora analisar cada alternativa usando
:
- (a)
. Aqui é a aplicação nula. Como , isto não é verdade (a aplicação nula teria autovalor , não ). Portanto (a) é falsa. - (b)
. Acabamos de demonstrar que . Portanto (b) é verdadeira. - (c)
não é diagonalizável. O enunciado já dizia que é diagonalizável; além disso é manifestamente diagonal (já é uma múltipla da identidade). Portanto (c) é falsa. - (d)
é nilpotente. Definição: é nilpotente se existe tal que . Se , então , que nunca é a matriz nula para nenhum . Outra forma: todos os autovalores de um operador nilpotente são , mas aqui o autovalor é . Logo (d) é falsa. - (e)
. Se em dimensão , então
Portanto (e) é falsa.
Resposta
(b)