Qual condição é necessária e suficiente para que uma matriz 3 \times 3 seja diagonalizável?
(a) Ter determinante não nulo
(b) Ter três autovalores distintos
(c) Ter três autovetores linearmente independentes
(d) Ser simétrica
(e) Ter traço nulo

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual condição é necessária e suficiente para que uma matriz 3\times3 seja diagonalizável?”\n
As alternativas fornecidas são:
(a) Ter determinante não nulo\n
(b) Ter três autovalores distintos\n
(c) Ter três autovetores linearmente independentes\n
(d) Ser simétrica\n
(e) Ter traço nulo\n
Não há outras informações no enunciado (por exemplo, sobre o corpo de escalares); a resposta procurada é uma condição que characterize exatamente (necessária e suficiente) a diagonalizabilidade de uma matriz 3\times3.

Passo 2

Definição precisa de diagonalizável (aqui vou explicar passo a passo).\n
Uma matriz A de ordem 3 é dita diagonalizável se existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
P^{-1} A P = D.
Explicando: isso significa que existe uma mudança de base (representada por P) que transforma a transformação linear representada por A numa transformação que atua apenas multiplicando coordenadas por escalares (a matriz diagonal D). Se escrevermos as colunas de P como vetores v_1,v_2,v_3, a relação A v_i = \lambda_i v_i aparece naturalmente: as colunas de P são autovetores e os elementos da diagonal de D são os autovalores correspondentes.

Passo 3

O que é autovalor e autovetor; relação com diagonalização.\n
  • Um vetor não nulo v é autovetor de A associado ao autovalor \lambda se
A v = \lambda v.
  • O conjunto de todos os autovetores associados a um mesmo \lambda, junto com o vetor zero, forma o subespaço nulo de A-\lambda I, chamado autoespaço correspondente a \lambda.\n
    Se uma coleção de três vetores v_1,v_2,v_3 forms uma base de \mathbb{R}^3 (ou do espaço vetorial sobre o corpo em questão) e cada v_i é autovetor de A, então, tomando P=[v_1\\ v_2\\ v_3], tem-se P^{-1}AP diagonal: portanto possuir uma base de autovetores é exatamente a mesma coisa que ser diagonalizável.

Passo 4

Noções de multiplicidade algébrica e geométrica (muito importantes).\n
  • A multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico \chi_A(t)=\det(tI-A).\n
  • A multiplicidade geométrica de \lambda é a dimensão do autoespaço \ker(A-\lambda I).\n
    Fato chave (teorema): para cada autovalor \lambda vale
1 \le \text{multiplicidade geométrica de }\lambda \le \text{multiplicidade algébrica de }\lambda.éé
E a condição necessária e suficiente geral para diagonalizabilidade de uma matriz n\times n é: para todo autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica iguala a multiplicidade algébrica. Equivalentemente, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores é n, isto é, existem n autovetores linearmente independentes que formam uma base.

Passo 5

Aplicando ao caso 3\times3: equivalente simples.\n
Para uma matriz 3\times3 a condição anterior se traduz de forma imediata: A é diagonalizável se, e somente se, existem três autovetores linearmente independentes. Ou seja, ter uma base de \mathbb{R}^3 (ou do espaço sobre o corpo) formada por autovetores. Essa é uma condição tanto necessária quanto suficiente.

Passo 6

Interpretação das alternativas com provas/contra-exemplos curtos (para aprender a distinguir “suficiente” de “necessária”).\n
  • (c) Ter três autovetores linearmente independentes.\n
    Já vimos que isto é exatamente a condição equivalente a existir P invertível com P^{-1}AP diagonal: colunas de P são esses autovetores. Portanto (c) é necessária e suficiente.\n
  • (b) Ter três autovalores distintos.\n
    Isto é suficiente, mas não necessário. Explicando: se uma matriz tem três autovalores distintos então cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1, e daí cada autovalor tem pelo menos um autovetor independente, totalizando três autovetores independentes — logo a matriz é diagonalizável. Mas não é necessário: por exemplo a matriz diagonal
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\end{pmatrix}
tem autovalores 1,1,2 (não são três distintos) e é diagonalizável. Então (b) é apenas sufiente, não necessária.\n
  • (a) Ter determinante não nulo.\n
    Isto significa apenas que 0 não é autovalor (matriz invertível). Não implica diagonalizabilidade e não é necessário: por exemplo a matriz de Jordan
\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
tem \det=1 mas não é diagonalizável (apenas um autovetor associado a \lambda=1). E a matriz \operatorname{diag}(0,1,2) tem \det=0 mas é diagonalizável; logo (a) é nem necessária nem suficiente.\n
  • (d) Ser simétrica.\n
    Se uma matriz real é simétrica então ela é diagonalizável por uma matriz ortogonal — portanto ser simétrica é uma condição suficiente (no caso real). Mas não é necessária: há matrizes não simétricas que são diagonalizáveis (por exemplo qualquer matriz com três autovalores distintos que não seja simétrica). Logo (d) é apenas sufiente (no caso real), não necessária.\n
  • (e) Ter traço nulo.\n
    O traço é a soma dos autovalores; isso não impõe nada sobre se existem autovetores suficientes. Existem matrizes com traço nulo que são diagonalizáveis e outras que não são (por exemplo a matriz de Jordan com autovalor 0 em multiplicidade 3 tem traço 0 mas não é diagonalizável). Então (e) não é condição necessária nem suficiente.]

Passo 7

Resumo didático e dica para prova (como raciocinar rápido na hora da questão).\n
  • O critério prático mais direto: checar se há 3 autovetores linearmente independentes. Se sim, a matriz é diagonalizável; se não, não é.\n
  • Uma verificação rápida frequentemente usada: encontre o polinômio característico e as multiplicidades algébricas; para cada autovalor \lambda calcule \dim \ker(A-\lambda I). Se para todos \lambda essas dimensões igualarem as multiplicidades algébricas, então é diagonalizável. Na prática, para 3\times3 isso reduz a contar autovetores: soma das dimensões dos autoespaços = 3 implica diagonalizável.\n
  • Lembre: “ter três autovalores distintos” é um atalho útil (suficiente), mas cuidado: questões de prova podem incluir alternativas que são apenas suficientes — a pergunta pediu “necessária e suficiente”. Isso te manda direto pra (c).

Resposta

(c)

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