Seja
C=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
Qual afirmação é verdadeira?
(a) C é diagonalizável
(b) C tem três autovalores distintos
(c) C tem apenas um autovetor linearmente independente
(d) C é simétrica
(e) C é nula

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pergunta qual das alternativas é verdadeira entre:
(a) C é diagonalizável; (b) C tem três autovalores distintos; (c) C tem apenas um autovetor linearmente independente; (d) C é simétrica; (e) C é nula.]

Passo 2

Plano de ataque (só para organizar a cabeça; depois faço passo a passo): calcular os autovalores (polinômio característico), depois determinar os autovetores (espaço próprio) e a sua dimensão. Com isso verifico se é diagonalizável e respondo as demais proposições (simetria e ser nula). Vou explicar cada conceito enquanto uso.
Breve lembrete didático:
  • Um autovalor \lambda de uma matriz A é solução de \det(A-\lambda I)=0.
  • O espaço próprio associado a \lambda é \ker(A-\lambda I); os vetores não nulos desse núcleo são autovetores.
  • A multiplicidade algébrica de \lambda é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico.
  • A multiplicidade geométrica é \dim\ker(A-\lambda I) (número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda).
  • A é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas for n (ou, equivalente, para cada \lambda, multiplicidade geométrica = multiplicidade algébrica).

Passo 3

Vou encontrar o polinômio característico de C. Como C é triangular superior, o determinante de C-\lambda I é o produto dos elementos da diagonal de C-\lambda I. Escrevendo
C-\lambda I=\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1-\lambda & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix},
temos
\det(C-\lambda I)=(1-\lambda)(1-\lambda)(1-\lambda)=(1-\lambda)^3.
Portanto o polinômio característico é (1-\lambda)^3.]

Passo 4

Da expressão (1-\lambda)^3 segue que existe um único autovalor:
\lambda=1,
com multiplicidade algébrica igual a 3. Explicação simples: a raiz \lambda=1 aparece três vezes no polinômio característico.
Consequência imediata para (b): a afirmação (b) “ C tem três autovalores distintos” é falsa, porque há apenas um autovalor (não três distintos).

Passo 5

Agora encontro os autovetores associados a \lambda=1\). Preciso resolver \[(C-I)v=0.
Escrevendo v=(x,y,z)^{T} e
C-I=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
o produto (C-I)v=0 gera o sistema linear
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 0,\\[4pt] 0=0. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem y=0\] e \(z=0; a terceira não impõe restrição sobre x. Assim os vetores próprios têm a forma
v=\begin{pmatrix} x \\[4pt] 0 \\[4pt] 0 \end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
com x\neq 0 para ser autovetor. Logo o espaço próprio é
\ker(C-I)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\},
que tem dimensão 1.]

Passo 6

Interpretação: a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1, enquanto a multiplicidade algébrica é 3. Isso significa que há apenas um autovetor linearmente independente (até escala) associado a \lambda=1.
Portanto a afirmação (c) “ C tem apenas um autovetor linearmente independente” é verdadeira.

Passo 7

Verificação de diagonalizabilidade (relacionado à (a)). Recordando: uma matriz n\times n é diagonalizável se existe uma base formada por n autovetores; isto requer que a soma das dimensões dos espaços próprios seja n. Aqui temos apenas dimensão 1 para o único autovalor, soma =1<3. Logo C não é diagonalizável. Assim (a) é falsa.
Explicação intuitiva: C é um bloco de Jordan de ordem 3 com auto-valor 1; blocos de Jordan de ordem maior que 1 não são diagonalizáveis porque não fornecem autovetores suficientes.

Passo 8

Verificação de simetria (afirmação (d)). Uma matriz é simétrica se C=C^{T}. Calculo
C^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Como C\neq C^{T} (por exemplo, C_{1,2}=1 enquanto C^{T}_{1,2}=0), a matriz não é simétrica. Logo (d) é falsa.]

Passo 9

Verificação da condição (e) (matriz nula): a matriz nula tem todos os elementos 0. Aqui C tem entradas 1 na diagonal e em duas posições acima da diagonal, portanto claramente C não é a matriz nula. Logo (e) é falsa.

Passo 10

Resumo final das verificações:
  • (a) falso (não é diagonalizável);
  • (b) falso (não tem três autovalores distintos; tem um único autovalor \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3);
  • (c) verdadeiro (apenas um autovetor linearmente independente, espaço próprio de dimensão 1);
  • (d) falso (não é simétrica);
  • (e) falso (não é a matriz nula).

Resposta

(c)

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