Qual afirmação é verdadeira?
(a) C é diagonalizável
(b) C tem três autovalores distintos
(c) C tem apenas um autovetor linearmente independente
(d) C é simétrica
(e) C é nula
e pergunta qual das alternativas é verdadeira entre:
(a) C é diagonalizável; (b) C tem três autovalores distintos; (c) C tem apenas um autovetor linearmente independente; (d) C é simétrica; (e) C é nula.]
Passo 2
Plano de ataque (só para organizar a cabeça; depois faço passo a passo): calcular os autovalores (polinômio característico), depois determinar os autovetores (espaço próprio) e a sua dimensão. Com isso verifico se é diagonalizável e respondo as demais proposições (simetria e ser nula). Vou explicar cada conceito enquanto uso.
Breve lembrete didático:
Um autovalor \lambda de uma matriz A é solução de \det(A-\lambda I)=0.
O espaço próprio associado a \lambda é \ker(A-\lambda I); os vetores não nulos desse núcleo são autovetores.
A multiplicidade algébrica de \lambda é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico.
A multiplicidade geométrica é \dim\ker(A-\lambda I) (número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda).
A é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas for n (ou, equivalente, para cada \lambda, multiplicidade geométrica = multiplicidade algébrica).
Passo 3
Vou encontrar o polinômio característico de C. Como C é triangular superior, o determinante de C-\lambda I é o produto dos elementos da diagonal de C-\lambda I. Escrevendo
Interpretação: a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1, enquanto a multiplicidade algébrica é 3. Isso significa que há apenas um autovetor linearmente independente (até escala) associado a \lambda=1.
Portanto a afirmação (c) “C tem apenas um autovetor linearmente independente” é verdadeira.
Passo 7
Verificação de diagonalizabilidade (relacionado à (a)). Recordando: uma matriz n\times n é diagonalizável se existe uma base formada por n autovetores; isto requer que a soma das dimensões dos espaços próprios seja n. Aqui temos apenas dimensão 1 para o único autovalor, soma =1<3. Logo C não é diagonalizável. Assim (a) é falsa.
Explicação intuitiva: C é um bloco de Jordan de ordem 3 com auto-valor 1; blocos de Jordan de ordem maior que 1 não são diagonalizáveis porque não fornecem autovetores suficientes.
Passo 8
Verificação de simetria (afirmação (d)). Uma matriz é simétrica se C=C^{T}. Calculo
Como C\neq C^{T} (por exemplo, C_{1,2}=1 enquanto C^{T}_{1,2}=0), a matriz não é simétrica. Logo (d) é falsa.]
Passo 9
Verificação da condição (e) (matriz nula): a matriz nula tem todos os elementos 0. Aqui C tem entradas 1 na diagonal e em duas posições acima da diagonal, portanto claramente C não é a matriz nula. Logo (e) é falsa.
Passo 10
Resumo final das verificações:
(a) falso (não é diagonalizável);
(b) falso (não tem três autovalores distintos; tem um único autovalor \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3);
(c) verdadeiro (apenas um autovetor linearmente independente, espaço próprio de dimensão 1);