Determine as coordenadas do polinômio 1+2 t+t^{3} \in P_{3}(\mathbb{R}) em relação:
a) à base canônica \beta=\left\{1, t, t^{2}, t^{3}\right\}
b) à base \beta_{1}=\left\{1,1+t, 1-t^{2}, 1-t^{3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do polinômio p(t)=1+2t+t^{3} no espaço P_{3}(\mathbb{R}) em duas bases: a canônica \beta=\{1,t,t^{2},t^{3}\} e a base \beta_{1}=\{1,\;1+t,\;1-t^{2},\;1-t^{3}\}. Para resolver, vamos usar o fato de que, em qualquer base, as coordenadas de um vetor (aqui um polinômio) são os coeficientes da combinação linear que o expressa nessa base.

Passo 2

Em relação à base canônica \beta, basta ler os coeficientes de p(t)=1+2t+0\cdot t^{2}+1\cdot t^{3}. Logo, o vetor de coordenadas de p em \beta é
[\,p\,]_{\beta} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar [\,p\,]_{\beta_{1} }=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\), escrevemos \[x_{1}\cdot1 \;+\; x_{2}(1+t)\;+\;x_{3}(1-t^{2})\;+\;x_{4}(1-t^{3}) \;=\;1+2t+t^{3}.
Expandindo e agrupando termos em 1,t,t^{2},t^{3}, obtemos
(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}) \;+\; x_{2}\,t \;-\;x_{3}\,t^{2} \;-\;x_{4}\,t^{3} \;=\; 1+2t+0\cdot t^{2}+1\cdot t^{3}.
Igualando coeficientes, surge o sistema:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1,\\\ x_{2}=2,\\\\ -\,x_{3}=0,\\\\ -\,x_{4}=1. \end{cases}
Dessa forma x_{2}=2\], \(x_{3}=0, x_{4}=-1 e, da primeira equação, x_{1}+2+0-1=1 leva a x_{1}=0.

Resposta

Em \beta: [\,p\,]_{\beta}=(1,2,0,1).
Em \beta_{1}: [\,p\,]_{\beta_{1}}=(0,2,0,-1).

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