Determine as coordenadas do polinômio 1+2 t+t^{3} \in P_{3}(\mathbb{R}) em relação:
a) à base canônica \beta=\left\{1, t, t^{2}, t^{3}\right\}
b) à base \beta_{1}=\left\{1,1+t, 1-t^{2}, 1-t^{3}\right\}
Passo 1
O enunciado pede as coordenadas do polinômio p(t)=1+2t+t^{3} no espaço P_{3}(\mathbb{R}) em duas bases: a canônica \beta=\{1,t,t^{2},t^{3}\} e a base \beta_{1}=\{1,\;1+t,\;1-t^{2},\;1-t^{3}\}. Para resolver, vamos usar o fato de que, em qualquer base, as coordenadas de um vetor (aqui um polinômio) são os coeficientes da combinação linear que o expressa nessa base.
Passo 2
Em relação à base canônica \beta, basta ler os coeficientes de p(t)=1+2t+0\cdot t^{2}+1\cdot t^{3}. Logo, o vetor de coordenadas de p em \beta é